Теория оценки инвестиционного портфеля по критерию риска

В качестве меры риска используют вариацию (дисперсию) случайной величины или стандартное отклонение, равное корню квадратному из вариации. Обе характеристики измеряют колебания дохода. Чем выше колебания дохода относительно средней, тем больше эти параметры.

Средняя или ожидаемая доходность R_i i-ого актива равна:

(1)²

где r_j – возможное j-ое значение доходности актива;

p_j – вероятность реализации значения доходности j-ого актива;

m – число возможных значений доходности.

Вероятность реализации значения доходности актива определяется как отношение временного промежутка, в течение которого наблюдается данное значение доходности, ко всему времени наблюдения.

Ожидаемая доходность портфеля равна средневзвешенному значению ожидаемых значений доходностей ценных бумаг, входящих в портфель:

(2)

где R_p - ожидаемая норма доходности портфеля Р за период;

R_i – доходность актива i за период;

W_i – вес актива i в портфеле;

м – число активов в портфеле.

Вариация - мера разброса случайной величины вокруг ее среднего значения. В математике - математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины Х от ее среднего значения Е(Х), равная:

(3)

Формула для определения вариации доходности i-ого актива имеет вид:

(4)

Стандартное отклонение, имеющее ту же размерность, что и доходность, равно:

(5)

Стандартные отклонения доходности по каждой из акций отражают степень рискованности инвестиции в данную акцию. Для того чтобы сравнить степень риска различных акций с различной средней (ожидаемой) доходностью и различным стандартным отклонением доходности, используется понятие коэффициент вариации:

(6)

Ковариация и коэффициент корреляции являются мерами взаимозависимости двух случайных величин. Отражают степень согласованности в поведении доходностей активов. Положительная ковариация означает, что в движении доходности двух ценных бумаг имеется тенденция изменяться в одних и тех же направлениях: если доходность одной акции возрастает (или уменьшается), то и доходность другой акции также возрастает (уменьшится). Если же имеет место обратная тенденция, т.е. увеличению (уменьшению) доходности акций одной компании соответствует снижение (увеличение) доходности акций другой компании, то считается, что между доходностями акций этих двух компаний существует отрицательная ковариация.

Ковариация двух активов равна (7):

С ковариацией связана корреляция, равная ковариации двух активов, деленной на произведение их стандартных отклонений.

Коэффициент корреляции между двумя случайными величинами равен:

(8)

Коэффициент корреляции лежит в пределах от -1 до +1. При этом (+1) означает полное совпадение направления движения, а (-1) - полное несовпадение.

В общем случае для портфеля из M активов вариация доходности равна:

(9)

Т.е. для нахождения дисперсии портфеля, нам надо заполнить матрицу, в ячейке (i; j) которой находятся значения (w_iw_j cov(r_i,r_j) ), где w_i - доля акции i в портфеле³.

cov(r_i,r_i)=var(r_i)

Заполнив матрицу, надо просто сложить полученные в ней величины и найдем дисперсию портфеля:

Если коэффициент корреляции двух активов равен (-1), то вес w_i (при известных σ₁, σ₂) можно подобрать так, чтобы стандартное отклонение доходности портфеля из этих активов было равным нулю:

(10)

Таким образом, из двух активов с полной отрицательной корреляцией доходности можно, в принципе, составить полностью безрисковый портфель. На практике подобрать такие активы вряд ли возможно. Но основная тенденция ясна: для снижения риска портфеля необходимо выбирать активы с отрицательной корреляцией. В этом случае падение доходности одного актива, в идеале– полностью, а на практике – частично, компенсируется ростом доходности другого актива, что повышает эффективность портфеля в части роста отношения доходность/риск.

Теория портфеля содержит анализ, который показывает, что существуют портфели, интегральный риск которых меньше риска каждого отдельного актива. Причем добавляя к выбранному активу второй актив с большими доходностью и риском, можно увеличить доходность формируемого портфеля и одновременно снизить его риск.

Совокупный риск инвестиционного портфеля в существенной мере зависит от уровня риска ценных бумаг. При росте количества разнообразных ценных бумаг в портфеле уровень риска портфеля ценных бумаг может быть уменьшен, но не ниже уровня систематического риска.

Вместе с тем следует учитывать, что это положение справедливо лишь для случая независимости ценных бумаг в портфеле; если ценные бумаги в портфеле взаимозависимы, то возможны по меньшей мере два варианта. В случае прямой корреляционной зависимости при увеличении количества ценных бумаг в портфеле уровень риска не изменяется, так как доходность всех ценных бумаг падает или растет с одинаковой вероятностью. В случае обратной корреляционной зависимости, как уже отмечалось по инвестиционному портфелю в целом, наименее рискованный портфель ценных бумаг может быть сформирован при определении в нем оптимальных долей ценных бумаг разного типа.

Существуют три основные меры риска:

- вариация доходности;

- стандартное отклонение доходности;

- коэффициент вариации доходности.