7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса

Задача 7. Некоторая экономическая система задана матрицей прямых затрат , вектором прямых потребностей в труде и вектором конечного потребления .

Требуется:

1) Проверить продуктивность модели Леонтьева ;

2) Вычислить косвенные потребности во всех продуктах, включая труд, для чистого выпуска единицы каждого продукта;

3) Найти нормализованный вектор равновесных цен и соответствующую ему ставку заработной платы;

4) Определить суммарный выпуск каждой отрасли и суммарную потребность в труде для производства ассортиментного набора продуктов .

Решение.

Развернутое изложение модели Леонтьева содержится в монографиях [2], [7]. Краткое описание этой модели приведено в методической разработке [8], терминологию и обозначения которую мы будем использовать в дальнейшем.

Матричная форма записи модели Леонтьева (для рассматриваемого в данной задаче случая двухотраслевой экономики) имеет вид: , где - вектор (столбец) валового выпуска продуктов, - заданный вектор (столбец) конечного потребления продуктов, - заданная матрица прямых затрат продуктов.

1) Для проверки продуктивности модели Леонтьева применим следующий критерий продуктивности:

модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда выполнено условие ; где - наибольшее положительное собственное значение матрицы прямых затрат .

Найдем собственные значения матрицы , т.е. корни характеристического уравнения :

, , , .

Таким образом , и условие выполнено, т.е. модель Леонтьева является продуктивной.

2) Для нахождения матрицы косвенных затрат продуктов применим формулу , где - так называемая матрица полных затрат продуктов.

Последовательно находим:

; ,

, , , ;

;

.

В результате получаем:

(косвенные затраты 1-го продукта для чистого выпуска единицы 1-го конечного продукта);

(косвенные затраты 1-го продукта для чистого выпуска единицы 2-го конечного продукта);

(косвенные затраты 2-го продукта для чистого выпуска единицы 1-го конечного продукта);

(косвенные затраты 2-го продукта для чистого выпуска единицы 2-го конечного продукта).

Далее найдем вектор косвенных потребностей в труде для чистого выпуска единицы соответствующего конечного продукта. Применим формулу , где - вектор (строка) полных потребностей в труде.

Последовательно находим:

, .

Следовательно,

(косвенные затраты труда для чистого выпуска единицы 1-го конечного продукта);

(косвенные затраты труда для чистого выпуска единицы 2-го конечного продукта);

3) Для нахождения нормализованного вектора равновесных цен на продукты и соответствующей ему ставки заработной платы применим следующие формулы:

, , ,

где , координаты вектора полных потребностей в труде.

Получаем:

; , .

4) Вектор валового выпуска продуктов найдем по формуле

: .

Таким образом,

(количество продукта, выпускаемое 1-ой отраслью);

(количество продукта, выпускаемое 2-ой отраслью).

Суммарная потребность в труде для производства заданного конечного продукта (трудоемкость производства) выражается скалярной величиной .

Рекомендуемая литература

1. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб и доп. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2003. – 237 с.

2. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов.– М.: ЮНИТИ, 1998. –240 с.

3. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 407 с.

4. Исследование операций: основы теории и экономические приложения: Учеб. пособие.– Екатеринбург: Изд-во Урал.гос.проф.-пед.ун-та, 1996,–112 с.

5. Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине "Математическое программирование" для студентов заочного обучения. – Екатеринбург, 2003.–27 с.

6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. -Мн.: Изд-во БГУ, 1975.– 280 с.

7.Ланкастер К. Математическая экономика.–М.: Сов. радио, 1972.

8. Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине "Математическое моделирование экономических систем" для студентов заочного обучения. – Екатеринбург, 2003. –27 с.

26