5. Условный экстремум. Метод Лагража

Задача 5.

На развитие двух предприятий, входящих в производственное объединение, выделено2 млн.долл. Если первому предприятию выделить млн.долл, то прибыль, полученная от этого предприятия, будет равна млн.долл; если млн.долл. выделить второму предприятию, по прибыль от него будет равна млн.долл.

Как следует распределить денежные средства между предприятиями, чтобы суммарная прибыль была максимальной?

Решить задачу методом множителей Лагранжа.

Решение:

Составим математическую модель данной задачи. Для этого сначала введем переменные:

(млн.долл.) - количество денежных средств, выделяемых первому предприятию;

(млн.долл.) - количество денежных средств, выделяемых второму предприятию.

Затем запишем выражение целевой функции, имеющей смысл суммарной прибыли производственного объединения:

.

Далее составим уравнение связи: и представим его в стандартной форме .

В результате получаем задачу условного максимума функции двух переменных при ограничении типа равенства. Для решения этой задачи применим метод Лагранжа ([4], [5]).

Составим функцию Лагранжа

,

где - числовой параметр, называемый множителем Лагранжа.

Суть метода Лагранжа состоит в том, что задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на обычный (безусловный) экстремум функции трех переменных.

Сначала найдем точки, подозрительные на условный экстремум (стационарные точки функции Лагранжа). Для этого находим частные производные первого порядка от функции Лагранжа, приравниваем их к нулю и решаем полученную систему уравнений:

, , ;

, , , .

Корень является посторонним; поэтому , , .

Получаем единственную стационарную точку функции Лагранжа .

Проверка полученной стационарной точки на выполнение достаточных условий условного экстремума производится с помощью дискриминанта функции Лагранжа

Находим: , ;

; ;

;

, , , , ;

.

Так как дискриминант функции Лагранжа в стационарной точке отрицателен, то в соответствии с достаточным условием условного максимума функция имеет при , условный максимум. Значение целевой функции в точке условного максимума

.

Таким образом, наибольшая суммарная прибыль производственного объединения (млн.долл.) достигается при следующем распределении денежных средств между предприятиями:

млн.долл. и млн.долл.