7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса
Задача 7. Некоторая экономическая система задана матрицей прямых затрат , вектором прямых потребностей в труде и вектором конечного потребления .
Требуется:
1) Проверить продуктивность модели Леонтьева ;
2) Вычислить косвенные потребности во всех продуктах, включая труд, для чистого выпуска единицы каждого продукта;
3) Найти нормализованный вектор равновесных цен и соответствующую ему ставку заработной платы;
4) Определить суммарный выпуск каждой отрасли и суммарную потребность в труде для производства ассортиментного набора продуктов .
Решение.
Развернутое изложение модели Леонтьева содержится в монографиях [2], [7]. Краткое описание этой модели приведено в методической разработке [8], терминологию и обозначения которую мы будем использовать в дальнейшем.
Матричная форма записи модели Леонтьева (для рассматриваемого в данной задаче случая двухотраслевой экономики) имеет вид: , где - вектор (столбец) валового выпуска продуктов, - заданный вектор (столбец) конечного потребления продуктов, - заданная матрица прямых затрат продуктов.
1) Для проверки продуктивности модели Леонтьева применим следующий критерий продуктивности:
модель Леонтьева продуктивна тогда и только тогда, когда выполнено условие ; где - наибольшее положительное собственное значение матрицы прямых затрат .
Найдем собственные значения матрицы , т.е. корни характеристического уравнения :
, , , .
Таким образом , и условие выполнено, т.е. модель Леонтьева является продуктивной.
2) Для нахождения матрицы косвенных затрат продуктов применим формулу , где - так называемая матрица полных затрат продуктов.
Последовательно находим:
; ,
, , , ;
;
.
В результате получаем:
(косвенные затраты 1-го продукта для чистого выпуска единицы 1-го конечного продукта);
(косвенные затраты 1-го продукта для чистого выпуска единицы 2-го конечного продукта);
(косвенные затраты 2-го продукта для чистого выпуска единицы 1-го конечного продукта);
(косвенные затраты 2-го продукта для чистого выпуска единицы 2-го конечного продукта).
Далее найдем вектор косвенных потребностей в труде для чистого выпуска единицы соответствующего конечного продукта. Применим формулу , где - вектор (строка) полных потребностей в труде.
Последовательно находим:
, .
Следовательно,
(косвенные затраты труда для чистого выпуска единицы 1-го конечного продукта);
(косвенные затраты труда для чистого выпуска единицы 2-го конечного продукта);
3) Для нахождения нормализованного вектора равновесных цен на продукты и соответствующей ему ставки заработной платы применим следующие формулы:
, , ,
где , координаты вектора полных потребностей в труде.
Получаем:
; , .
4) Вектор валового выпуска продуктов найдем по формуле
: .
Таким образом,
(количество продукта, выпускаемое 1-ой отраслью);
(количество продукта, выпускаемое 2-ой отраслью).
Суммарная потребность в труде для производства заданного конечного продукта (трудоемкость производства) выражается скалярной величиной .
Рекомендуемая литература
1. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., перераб и доп. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2003. – 237 с.
2. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов.– М.: ЮНИТИ, 1998. –240 с.
3. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие для вузов/ Под ред. проф. Н.Ш. Кремера.– М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1999. – 407 с.
4. Исследование операций: основы теории и экономические приложения: Учеб. пособие.– Екатеринбург: Изд-во Урал.гос.проф.-пед.ун-та, 1996,–112 с.
5. Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине "Математическое программирование" для студентов заочного обучения. – Екатеринбург, 2003.–27 с.
6. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. -Мн.: Изд-во БГУ, 1975.– 280 с.
7.Ланкастер К. Математическая экономика.–М.: Сов. радио, 1972.
8. Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине "Математическое моделирование экономических систем" для студентов заочного обучения. – Екатеринбург, 2003. –27 с.
- Методические указания для выполнения контрольной работы
- Заведующий кафедрой л.С. Чебыкин
- Введение
- 1. Анализ доходности и риска финансовых операций
- 2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг
- 3. Задача линейного программирования
- 4. Транспортная задача
- 5. Условный экстремум. Метод Лагража
- 6. Оптимальное распределение капиталовложений. Метод динамического программирования
- 7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса