1. Анализ доходности и риска финансовых операций

Задача 1. Даны четыре финансовые операции , , , , доходы которых , , , , имеют следующие ряды распределения:

В первой строке каждого ряда распределения указаны возможные значения дохода, а во второй – соответствующие им вероятности.

Требуется:

1) Найти средние ожидаемые доходы и риски этих финансовых операций .

2) Нанести точки ( , ) на координатную плоскость, определить операции, оптимальные по Парето и составить множество Парето.

3) С помощью взвешивающей формулы выделить "лучшую" из операций множества Парето.

Решение:

1) Средний ожидаемый доход финансовой операции , заданной рядом распределения ее случайного дохода , определяется как математическое ожидание дискретной случайной величины , т.е. по формуле

,

где есть вероятность получить доход .

Применяя эту формулу, находим:

;

;

;

.

Риск финансовой операции определяется (см.[1]) как среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины , т.е. по формуле

,

где - дисперсия случайного дохода , которую удобнее вычислять по формулам:

, .

Используя приведенные формулы, последовательно находим:

,

, , ;

,

, , ;

,

, , ;

,

, , .

2) В результате выполнения первого пункта требований задачи получаем 4 точки : , , , , характеризующие заданные финансовые операции.

Нанесем эти точки на координатную плоскость , при этом средние ожидаемые доходы будем откладывать по горизонтальной оси, а риски – по вертикальной оси.

Д ля выбора наилучшей из четырех финансовых операций , , , нам понадобится несколько важных понятий, которые мы введем следуя учебному пособию [1].

Говорят, что операция доминирует операцию , если выполняются неравенства

и ,

и хотя бы одно из этих неравенств является строгим. При этом операция называется доминирующей, а операция называется доминируемой.

Так как доминируемая операция не может быть лучшей, то наилучшую операцию следует искать среди недоминируемых операций.

Операция, недоминируемая никакой другой операцией рассматриваемого множества, называется оптимальной по Парето. Множество таких операций называется множеством Парето.

Сравнение финансовых операций , , , по степени их доходности и риска удобно провести графически. Чем правее точка, тем операция более доходная, чем точка ниже, тем операция менее рисковая. В данной задаче операция доминирует операцию , а операция доминирует операцию . Операции и являются недоминируемыми (над каждой из них нет доминирущей операции), т.е. являются оптимальными по Парето. Таким образом, множество Парето составляют финансовые операции и .

3) Взвешивающая формула выражает личное отношение участника финансового рынка к степени дохода и риска. Из двух операций множества Парето и выделим "лучшую" с точки зрения заданной взвешивающей формулы. Для этого вычислим

; .

Следовательно, финансовая операция является "лучшей".