2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Задача 2. На финансовом рынке имеются три вида ценных бумаг: бумаги первого вида - безрисковые ожидаемой эффективности , а бумаги второго и третьего видов - некоррелированные рисковые ожидаемых эффективностей и с рисками и соответственно.

Требуется решить задачу Тобина о формировании оптимального портфеля ценных бумаг минимального риска заданной эффективности . Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в проведении операции "короткая продажа" ("short sale")?

Решение:

Введем переменные, обозначив через долю капитала, вложенного в безрисковые ценные бумаги, через - долю капитала, вложенного в рисковые ценные бумаги 1-го вида, через - долю капитала, вложенного в рисковые ценные бумаги 2-го вида.

Для удобства записи применяемых при решении задачи формул примем следующие векторно-матричные обозначения:

- вектор-столбец долей рисковых составляющих портфеля;

- вектор-столбец эффективностей рисковых ценных бумаг;

- ковариационная матрица доходностей рисковых ценных бумаг;

.

Так как в данной конкретной задаче доходности рисковых ценных бумаг являются некоррелированными, то ковариационная матрица диагональная и имеет вид:

.

Вектор эффективностей рисковых ценных бумаг .

Оптимаьное решение задачи Тобина о формировании портфеля минимального риска выражается формулами ([1], [2]):

, ;

где - матрица, обратная к ковариационной матрице .

Зададимся эффективностью портфеля . Сначала найдем обратную матрицу по известной формуле , где , - алгебраическое дополнение элемента ковариационной матрицы . В нашем случае , , , , ;

. Заметим, что в случае диагональной матрицы справедлива формула , и нахождение обратной матрицы существенно упрощается.

Далее находим векторы-столбцы

, ;

вычисляем знаменатель основной формулы

.

Затем применим основную формулу и найдем вектор-столбец оптимальных долей рисковых ценных бумаг

.

Таким образом, в данной конкретной задаче , , т.е. рисковые доли оптимального портфеля должны быть одинаковыми. Здесь - заданная эффективность оптимального портфеля.

Используя долевое соотношение , находим безрисковую долю оптимального портфеля

.

Необходимость в проведении финансовой операции "short sale" ("короткая продажа") возникает если , т.е. при условии . Следовательно, если желаемый уровень эффективности оптимального портфеля мы зададим большим 7, то для обеспечения минимального риска всего портфеля надлежит организовать быструю продажу государственных безрисковых ценных бумаг.