2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг
Задача 2. На финансовом рынке имеются три вида ценных бумаг: бумаги первого вида - безрисковые ожидаемой эффективности , а бумаги второго и третьего видов - некоррелированные рисковые ожидаемых эффективностей и с рисками и соответственно.
Требуется решить задачу Тобина о формировании оптимального портфеля ценных бумаг минимального риска заданной эффективности . Как устроена рисковая часть оптимального портфеля? При какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в проведении операции "короткая продажа" ("short sale")?
Решение:
Введем переменные, обозначив через долю капитала, вложенного в безрисковые ценные бумаги, через - долю капитала, вложенного в рисковые ценные бумаги 1-го вида, через - долю капитала, вложенного в рисковые ценные бумаги 2-го вида.
Для удобства записи применяемых при решении задачи формул примем следующие векторно-матричные обозначения:
- вектор-столбец долей рисковых составляющих портфеля;
- вектор-столбец эффективностей рисковых ценных бумаг;
- ковариационная матрица доходностей рисковых ценных бумаг;
.
Так как в данной конкретной задаче доходности рисковых ценных бумаг являются некоррелированными, то ковариационная матрица диагональная и имеет вид:
.
Вектор эффективностей рисковых ценных бумаг .
Оптимаьное решение задачи Тобина о формировании портфеля минимального риска выражается формулами ([1], [2]):
, ;
где - матрица, обратная к ковариационной матрице .
Зададимся эффективностью портфеля . Сначала найдем обратную матрицу по известной формуле , где , - алгебраическое дополнение элемента ковариационной матрицы . В нашем случае , , , , ;
. Заметим, что в случае диагональной матрицы справедлива формула , и нахождение обратной матрицы существенно упрощается.
Далее находим векторы-столбцы
, ;
вычисляем знаменатель основной формулы
.
Затем применим основную формулу и найдем вектор-столбец оптимальных долей рисковых ценных бумаг
.
Таким образом, в данной конкретной задаче , , т.е. рисковые доли оптимального портфеля должны быть одинаковыми. Здесь - заданная эффективность оптимального портфеля.
Используя долевое соотношение , находим безрисковую долю оптимального портфеля
.
Необходимость в проведении финансовой операции "short sale" ("короткая продажа") возникает если , т.е. при условии . Следовательно, если желаемый уровень эффективности оптимального портфеля мы зададим большим 7, то для обеспечения минимального риска всего портфеля надлежит организовать быструю продажу государственных безрисковых ценных бумаг.
- Методические указания для выполнения контрольной работы
- Заведующий кафедрой л.С. Чебыкин
- Введение
- 1. Анализ доходности и риска финансовых операций
- 2. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг
- 3. Задача линейного программирования
- 4. Транспортная задача
- 5. Условный экстремум. Метод Лагража
- 6. Оптимальное распределение капиталовложений. Метод динамического программирования
- 7. Модель Леонтьева межотраслевого баланса