лекции по статистике фик

Расчеты при начислении простых процентов. Наращение по простой ставке процентов (I).

Пусть задана исходная (или современная, настоящая— PV) стоимость денег и осуществляется ее наращение, или рост, т.е. процесс увеличения стоимости денег за счет начисления процентов.

Наращенную (будущую) сумму денег через определенный период обозначим FV; число процентных периодов, т.е. периодов начисления процентов, — п; ставку процентов за период — i.

Тогда простые декурсивные (обычные) проценты вычисляются следующим образом:

PV ∙ i = I₁ , где I₁ — сумма процентных денег, начисленных за единицу времени;

PV ∙ п ∙ i = I_n — сумма процентных денег, начисленных за все (n) процентные периоды.

Процесс наращения суммы денег за счет начисления простых процентов выглядит как арифметическая прогрессия: PV; PV+PV ∙ i; PV+2 ∙ PV ∙ i, PV+3 ∙ PV ∙ i и т.д. с первым членом PV и разностью PV∙ i и аналитически для п периодов может быть выражен:

FV = PV + PV ∙ i + …+ PV ∙ i = PV + n ∙ PV ∙ i = PV ( 1+ n i ), (1)

где n ∙ PV ∙ I = I_n

Формулой выражается суть практических расчетов, связанных с исчислением:

• суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты;

• размера срочного вклада с процентами.

При этом ситуация, где п — число процентных периодов, i — ставка за период, выглядит так:

п — срок финансовой операции;

i — ставка за период; проценты начисляются весь срок по истечении данного периода.

Пример 1. Банк выдал ссуду 10 тыс. руб. на 2 года под 10% годовых. Определить подлежащую возврату сумму, если простой процент: начисляется за каждый год, а долг гасится единовременным платежом.

Решение. FV = PV ( 1+ n i ) = 10 ( 1 + 2 ∙ 0,1 ) = 12 тыс.руб.

Такого вида вычисления встречаются редко. Для подобных расчетов чаще пользуются формулой (2), где аналитически выражен принцип расчета для случаев, когда задана годовая ставка i, a cpoк операции выражен в днях, реже — в месяцах. Обозначим срок операции через t. Для перевода срока финансовой операции в доли от года используют уравнивающий знаменатель Y (от англ. year — год), обозначающий продолжительность года, выраженную в тех же единицах, что и t. Отношение t/Y подставим вместо п в (1). Получим формулу, которая наиболее часто используется и является разновидностью формулы (1):

FV = PV ( 1+ t/Y∙ i ) = PV + PV ∙ t/Y∙ i = PV + I_n (2)

Формула (2) используется при:

• определении абсолютной величины процентов и наращенной суммы в целом при обслуживании вкладов до востребования

• обслуживании текущих счетов;

• расчете суммы долга с процентами при сроке операции менее года и погашении долга единовременным платежом;

• замене и консолидации платежей;

• определении размера процентных платежей при составлении планов амортизации (погашения) задолженности.

Прежде чем рассматривать другие примеры, заметим, что t и Y в случае измерения их в днях могут быть выражены точно или приближенно.

В зависимости от сочетания t и Y, измеренных по-разному, на практике встречаются следующие способы расчетов:

1) t и Y измерены точно — это значит начислить точные проценты с фактическим сроком операции. Для определения t здесь пользуются специальной таблицей порядковых номеров дней в году: из номера дня окончания операции вычитают день ее начала (если день выдачи и день погашения ссуды считаются за 1);

2) если t измерено точно, a Y — приближенно. Этот способ используется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с фактическим сроком операции. Поскольку при вычислении в выражении t/Y знаменатель меньше, чем при расчетах в случае 1, т.е. 360 по сравнению с 365, то размер начисленных процентов при прочих равных условиях соответственно будет несколько большим — на 1,3889 %.

В России по такому принципу ведутся все банковские операции;

3) когда t u Y измерены приближенно. Этот способ применяется для вычисления обыкновенных (коммерческих) процентов с приближенным сроком операции при некоторых видах расчетов с населением.

Пример 2. Организации предоставлена ссуда 100 тыс. руб. под 10% годовых с 01.01 по 01.04 текущего года. Определить подлежащую возврату сумму. Долг гасится единовременным платежом.

Решение.

FV = PV ( 1+ t/Y∙ i ) = 100 ( 1 + 90/360 ∙ 0,1 ) = 102,5 тыс.руб.

t = 31 + 28 +31 = 90 дней .

При обслуживании текущих счетов банки сталкиваются с непрерывной цепью поступлений и расходовании средств, а также с необходимостью начисления процентов на постоянно меняющуюся сумму.

В банковской практике в этой ситуации используется правило — общая начисленная за весь срок сумма процентов равна сумме процентов, начисленных на каждую из постоянных на некотором отрезке времени сумм.

Это касается и дебетовой, и кредитовой части счета. Разница лишь в том, что кредитовые проценты вычитаются.

Иногда для начисления процентов на такие постоянные суммы используют процентные числа.

Процентное число = Сумма • Срок ее хранения в днях/100, или

Процентные числа по каждой постоянной сумме складываются и делятся на дивизор:

Дивизор = Продолжительность года в днях / Годовая ставка процентов (в процентах),

Таким образом, вся абсолютная сумма начисленных процентов рассчитывается так:

Содержание