Тема 4 вартість грошей в часі і її використання

Час: 2 год.

Мета: опрацювати методичний інструментарій оцінювання вартості грошей у часі та його застосування у фінансових розрахунках; окреслити особливості визначення майбутньої і теперішньої вартості грошей за різних умов.

План

4.1 Суть і практичне використання оцінки вартості грошей в часі

4.2 Майбутня вартість грошей, її визначення і використання у фінансових розрахунках.

4.3 Справжня вартість грошей, її визначення і використання у фінансових розрахунках.

4.4 Фінансові ренти (ануїтети) і їх практичне використання.

Література: [12, с.63-95], [17, с.117-152], [25, с. 77-93], [41, с.91-120]

4.1 Суть і практичне використання оцінки вартості грошей в часі

Чинник часу має значення не тільки для історії, але і для економіки, особливо для її найважливішої частини - фінансів. З погляду фінансів за певний проміжок часу (період) відбуваються значні зміни, які зачіпають різні сторони фінансово-господарської діяльності суб'єктів господарювання, окремих фізичних осіб і всього суспільства. Перш за все відбуваються істотні зміни в оцінці вартості грошових коштів.

З часом вартість грошей стає відмінною (у більшу або меншу сторону) від первинної величини і набуває абсолютно іншої оцінки. Зміна вартості грошей пов'язана як з об'єктивними, так і суб'єктивними умовами і чинниками, які діють в процесі розширеного відтворення в економічній системі держави. Чим швидше здійснюється відтворювальний процес в суспільному господарстві країни, тим швидше змінюється вартість грошей і навпаки. Відтворювальний процес завжди супроводжується тими або іншими змінами вартості грошей в часі. Найчастіше зміну вартості грошей в часі пов'язують з інфляцією, монетизацією економіки, ризиком втрати частини доходів, прибутку, дивідендів, відсотків на вкладений капітал. В цьому випадку оцінка вартості грошей в часі розглядається як механізм порівняння різних варіантів вкладень капіталу і отримання прибутку.

У практиці фінансових обчислень такий підхід цілком виправданий, оскільки чинник часу, особливо в середньострокових і довгострокових договорах і контрактах або в умовах нестабільної фінансово-економічної ситуації грає іноді більшу роль, чим розміри вкладених або отримуваних грошових сум.

Об'єктивною необхідністю обліку чинника часу в оцінці вартості грошей виступає процес розширеного відтворення валового внутрішнього продукту, а суб'єктивною - суть процесів фінансування, інвестування і кредитування господарської діяльності, що виражаються в принципі не рівноцінності грошей, що відносяться до різних періодів часу.

В умовах ринкової економіки чинник часу особливо впливає на зміну вартості грошей. Це обумовлено тим, що з'являється можливість різних варіантів вкладення грошових коштів, що приносять різну суму доходу за неоднакові інтервали часу.

Можна виділити наступні основні умови і чинники, які впливають на оцінку вартості грошей в часі в сучасній соціально-орієнтованій ринковій системі господарювання. По-перше, масштаби і швидкість здійснення розширеного відтворення, що характеризуються збільшенням валового внутрішнього продукту або валового національного доходу країни. По-друге, зростанням монетизації економіки країни, еквівалентністю грошової маси в обігу об'єму створеного в країні валового внутрішнього продукту. По-третє, параметрами інфляційного процесу, що визначається на основі індексу споживчих цін, індексу цін виробників, сукупного індексу цін або дефлятора валового внутрішнього продукту. По-четверте, рівнем підприємницького, фінансового і інвестиційного ризику. По-п'яте, ліквідністю різних видів активів, фінансових і інвестиційних інструментів, куди був вкладений грошовий капітал.

Всі перераховані чинники взаємозв'язані і, як правило, діють практично одночасно, що вимушує фінансових менеджерів враховувати їх практично у всіх своїх фінансово-інвестиційних операціях.

З принципу не тимчасової рівноцінності грошей витікає об'єктивна нераціональність підсумовування грошових величин, що відносяться до різних періодів часу при ухваленні фінансових рішень. Тому на практиці фінансові менеджери повинні проводити фінансові розрахунки з урахуванням тимчасової вартості грошей. Для цього використовують дві фінансові операції, що отримали назви нарощування і дисконтування.

Нарощування - визначення майбутньої вартості грошей, дисконтування - визначення справжньої вартості грошей.

Під нарощуванням розуміють процес збільшення первинної суми грошового капіталу в результаті нарахування відсотків.

Економічний сенс методу нарощування полягає у визначенні величини, яка буде або може бути отримана з деякої первинної (поточної) суми в результаті проведення фінансової операції.

Дисконтуванням є процес знаходження грошової суми на заданий момент часу по її відомому або передбачуваному значенню в майбутньому, виходячи із заданої процентної ставки.

Економічний сенс дисконтування полягає в тимчасовому впорядкуванні грошових потоків різних тимчасових періодів. У основі дисконтування покладена дисконтна ставка або дисконтний відсоток.

Дисконтна ставка - це процентна ставка, яка забезпечує процес приведення майбутньої вартості грошового капіталу до справжнього моменту часу. Дисконтна ставка показує, який відсоток повернення може мати інвестор на грошові кошти, що інвестуються.

Дисконт - це дохід, що є різницею між номінальною і фактичною сумою грошових коштів (грошового капіталу).

Як процес нарощування, так і процес дисконтування значною мірою залежать від величини відсотка або процентної ставки. Саме відсоток є основою для проведення фінансових розрахунків і визначення вартості грошей в часі. Величина відсотка встановлюється в результаті вирішення протиріччя між власником грошового капіталу і його користувачем, тобто суб'єктом вкладення капіталу. В результаті вирішення протиріччя складається ціна грошового капіталу у формі відсотка або процентної ставки.

Під відсотками розуміють абсолютну величину доходу від надання грошей у борг в будь-якій формі: видача позики, продаж товарів в кредит, приміщення грошей на депозитний внесок, облік векселя, покупка ощадного сертифікату або облігації і так далі.

Під процентною ставкою розуміється відносна величина доходу за фіксований відрізок часу.

Процентна ставка зазвичай «прив'язана» до деякого тимчасового інтервалу, який називається періодом нарахування. Як правило, період нарахування рівний: рік, півріччя, квартал, місяць, день. Стандартним тимчасовим інтервалом в Україні є один календарний або фінансовий рік. Величина фінансового року для фінансових розрахунків може прийматися або 360 днів (за умови використанні англо-американської системи відліку) або 365-366 днів (при користуванні французької системи відліку).

Для того, щоб визначити майбутню вартість грошей або здійснити процес нарощування, як мінімум, треба мати три компоненти: а) первинну суму грошей (грошового капіталу); б) ставку відсотка, по якій проводиться розрахунок; в) часовий інтервал фінансової операції, який визначає майбутню суму грошей. При цьому часовий інтервал впливає на первинну суму грошей і певною мірою впливає на процентну ставку. Для визначення справжньої вартості грошей також потрібно, як мінімум, три компоненти: а) майбутня сума грошей; би) ставка дисконтування; в) часовий період фінансової операції.

Існують різні способи нарахування відсотків, а у зв'язку з цим і різні види процентних ставок.

У зв'язку з цим процентні ставки класифікуються:

1. Залежно від бази розрахунку можуть бути:

а) при постійній базі - прості ставки;

б) при змінній базі - складні ставки.

2. Залежно від способу розрахунку відсотків:

а) при декурсивном способі - ставки відсотка;

б) при антисипативном способі - облікові ставки

3. Залежно від порядку встановлення у фінансовому контракті:

а) фіксовані ставки; б) плаваючі ставки.

4. Залежно від виду фінансового контракту:

а) депозитні ставки; б) кредитні ставки.

5. Залежно від тимчасової оцінки вартості грошей: а) при визначенні майбутньої вартості грошей – ставки нарощування;

б) при визначенні справжньої вартості - ставки дисконтування.

6. Залежно від виду фінансового інструменту:

а) ставки доходу по основних фінансових інструментах;

б) ставки доходу по похідних фінансових інструментах (деривативам).

Оцінка вартості грошей в часі використовується практично у всіх фінансових обчисленнях, де необхідне визначити величину грошового потоку, доходи на вкладений капітал в різні активи, цінні папери, інвестиційні проекти. Здійснюючи такі фінансові операції: як придбання (емісію) акцій, облігацій, ощадних і інвестиційних сертифікатів; облік векселів; депозитні і кредитні операції; вкладення фінансового капіталу в інвестиційні проекти і тому подібне необхідно проводити оцінку вартості грошей (грошового капіталу) в часі. Така оцінка дозволить з безлічі варіантів вкладення фінансового капіталу вибрати якнайкращий, такий, що забезпечує найбільш вигідні умови отримання прибутку на вкладений капітал і понизити величину ризику при проведенні тієї або іншої фінансової операції. В умовах ринкової економіки жодне фінансове рішення не повинне ухвалюватися без всебічної оцінки вартості фінансового капіталу і грошових потоків з урахуванням чинника часу.

4. 2. Майбутня вартість грошей, її визначення і використання у фінансових розрахунках.

Майбутня вартість грошей (F) є сумою інвестованих у нинішній момент грошових коштів, в яку вони перейдуть через певний період часу з урахуванням умов вкладення.

Простим видом фінансової операції є одноразове надання у борг деякої первинної суми (Р) при умові, що через деякий час (t) буде повернена сума (F), яка і є майбутньою вартістю грошей. Дана операція характеризується показником темпу приросту або процентною ставкою:

, (1)

де n(t) - темп приросту або процентна ставка;

F - майбутня вартість грошей;

Р - первинна (початкова) сума грошей.

З формули (1) виходить, що:

, (2)

Оскільки > 0, то можна стверджувати, що час створює гроші.

Приклад 1. Підприємство отримало кредит строком на 1 рік у розмірі 2,5 млн. грн. з умовою повернення 2,8 млн. грн. Визначити процентну ставку за кредитом.

Рішення: Використаємо формулу (1) і отримаємо:

або 10,7%

Існують дві основні схеми визначення майбутньої вартості грошей:

а) схема простих відсотків;

б) схема складних відсотків.

Розглянемо суть кожної схеми.

Залежно від того, коли проводиться нарахування відсотків, застосовують два методи нарахування: а) декурсивний метод - припускає нарахування відсотків в кінці періоду, при цьому використовують ставки нарощування; б) антиси-пативний метод - передбачає нарахування відсотків на початку періоду, при цьому використовують облікові ставки.

Суть схеми нарахування по простих відсотках або простим процентним ставках зводиться до того, що відсотки нараховуються протягом всього терміну фінансової операції на одну і ту ж величину грошових коштів, наданих для вкладення.

Формула для визначення майбутньої вартості грошей з використанням простих відсотків може бути представлена і наступному вигляді:

(3)

де F — майбутня вартість грошей по схемі простих процентів;

Р - первинна сума грошових коштів;

n - проста процентна ставка, долі одиниць;

t - термін нарахування відсотків (в роках).

Приклад 2. Підприємство отримало в банку кредит терміном на 3 роки у розмірі 2 млн. грн. по ставці простих відсотків у розмірі 12% річних. Визначити суму нагромадженого боргу (майбутню вартість кредиту з відсотками).

Рішення: З формули 3 слідує:

грн.

При використанні простих відсотків дуже часто період фінансової операції не дорівнює цілому числу років, тому періоди нарахування простих відсотків виражаються дробовим значенням, тобто як відношення числа днів або місяців функціонування операції до днів або місяців в році:

, (4)

де f - число днів (місяців) функціонування операції;

k - тривалість року (K = 365 (366) днів або 12 місяців).

З урахуванням формули (4) майбутня вартість грошей по схемі простих відсотків визначається таким чином:

(5)

Приклад 3. Банк видав кредит підприємству 10 березня у розмірі 2,5 млн. грн. з умовою повернення 10 червня. Проста процентна ставка встановлена у розмірі 12,5% річних. Визначити майбутню вартість кредиту по схемі простих відсотків.

Рішення: Тривалість кредиту складає 93 дні з 10 березня по 10 червня включно. Отже, використовуючи формулу (5) отримаємо:

грн.

При укладанні фінансових угод процентна ставка може бути не тільки постійною, але і змінюватися протягом періоду дії договору. В цьому випадку майбутня вартість грошей по схемі простих відсотків може бути визначена по формулі:

, (6)

де n_i - ставка простих відсотків в період і;

t_i - тривалість (період) нарахування ставки n_i;

m - число періодів нарахування відсотків.

При капіталізації процентного доходу майбутня вартість грошей по схемі простих відсотків може визначатися по формулі:

(7)

Розрахунок майбутньої вартості грошей по простій обліковій ставці визначається по формулі:

, (8)

де F - майбутня вартість грошей по простій обліковій ставці;

Р - сума грошей, що надається у борг;

t - тривалість фінансової операції (роки);

d - облікова ставка, долі одиниць.

Приклад 4. Підприємство звернулося в банк за кредитом на термін 180 днів. Банк надає кредит на наступних умовах: відсотки (16% річних) повинні бути нараховані і виплачені з суми кредиту, що надається, в момент його видачі. Визначити загальну суму отриманого кредиту, якщо підприємству видали суму 600 тис. грн.

Рішення: Використовуємо формулу (8)

грн.

У фінансовій практиці достатньо часто виникає необхідність за відомими даними визначити процентну (облікову) ставку або період дії фінансової операції. Строк дії фінансової угоди може бути визначений по формулі:

(9)

Якщо період дії фінансового договору заданий в днях або місяцях, то можна скористатися формулою:

(10)

де k - 365 (366) днів або 12 місяців.

Приклад 5. Підприємство бажає отримати кредит в сумі 500 тис. грн. Банк надає кредит під 15% річних. На який термін підприємство може узяти кредит з тим, щоб сума, що підлягає поверненню не перевищила 550 тис. грн.

Рішення: Використовуємо формулу (10)

дні

Термін дії фінансової угоди при використанні облікової ставки може проводитися по формулі:

(11)

де t - термін позики в роках.

Коли термін договору визначається в днях (місяцях), то розрахунок ведеться по формулі:

(12)

де f - число днів (місяців) операції.

Приклад 6. Банк надає кредит підприємству на умовах облікової ставки 15% річних у розмірі 2 млн. грн. При видачі кредиту відсотки відняли зі встановленої суми, і підприємство отримало 1,9 млн. грн. Визначити на який термін підприємство отримало кредит.

Рішення: Використовуємо формулу 12

день

Якщо нам не відомі процентна ставка або облікова ставка, то їх можна визначити по наступних формулах:

Процентна ставка:

(13)

Облікова ставка:

(14)

Приклад 7. Підприємство звернулося в банк за кредитом в сумі 1,8 млн. грн. Банк погодився на видачу кредиту за умови, що він буде повернений через 90 днів у розмірі 1850 тис. грн. При розрахунку використовувалася облікова ставка. Визначити її величину.

Рішення: Використовуємо формулу 14

або 11%

Схема складних відсотків в практиці фінансових обчислень використовується ширше, ніж простих відсотків. Основна відмінність складних відсотків від простих полягає в тому, що процес нарощення здійснюється в кожному новому періоді нарахування не на первинну грошову суму, а на величину з урахуванням капіталізованих (доданих) відсотків.

Так же як і при нарахуванні простих відсотків існують два методи нарахування складних відсотків: декурсивний і антисипативний.

Майбутня вартість грошей по ставці складних відсотків визначається по формулі:

, (15)

де F - майбутня вартість грошей по ставці складних фіксованих відсотків;

Р - первинна сума грошей;

n - річна фіксована ставка відсотка, долі одиниць;

t - термін нарахування (число повних років).

Величину (1 + n) називають складним декурсивним коефіцієнтом, а величину (1 + n)^t - множителем складних відсотків.

Приклад 8. Інвестор вклав в банк на депозитний рахунок 25000 грн. під 12% річних строком на 3 роки. Визначити майбутню суму грошей по схемі складних відсотків.

Рішення: Скористаємося формулою 15

В умовах ринкової економіки, коли кон'юнктура фінансового ринку може мінятися достатньо швидко, банки використовують не тільки фіксовані, але і плаваючі складні процентні ставки.

Майбутня вартість грошей при плаваючих по періодах ставкам складних відсотків визначається по формулі:

(16)

де n₁, n₂, …, n_m - послідовні значення ставок відсотків;

t₁, t₂, …, t_m – періоди, на протязі яких використовуються відповідні ставки відсотків.

Приклад 9. Виробниче підприємство отримало в банку кредит на суму 10 млн. грн. строком на 3 роки. Процентна ставка по роках встановлена в розмірах: для першого року - 20% річних, для другого року - 18% річних, для третього року - 15% річних. Визначити суму зобов’язань, після закінчення терміну кредиту.

Рішення: Використовуємо формулу 16

млн. грн.

Задача 10. Підприємство отримало в банку кредит на суму 10 млн. грн. строком на 5 років. Процентна ставка по роках плаваюча: перший і другий рік – 22% річних, третій і четвертий - 18% річних, п’ятий рік - 16% річних. Визначити суму зобов’язань, після закінчення терміну кредиту.

Рішення: Використовуємо формулу 16

млн.. грн.

Якщо термін фінансової операції виражений дробовим числом, то в таких випадках нарахування відсотків може виконуватися двома способами:

а) по формулі складних відсотків

, (17)

де t = a+b - період операції (а — ціле число років, b — дробова частина року).

б) змішаним способом

, (18)

При t = b < 1, тобто при загальному терміні менше року, майбутня вартість грошей по змішаному методу буде більша, оскільки (1 + ) > (1 + n)^b.

У практиці фінансових обчислень дуже часто передбачається внутрішньорічне нарахування відсотків з їх капіталізацією. Річна ставка в цьому випадку називається номінальною, а для внутрішньорічних нарахувань вказується число періодів (m), по яких проводиться нарахування відсотку протягом року. В цьому випадку майбутня вартість грошей при внутрішньорічних нарахуваннях визначається по формулі:

, (19)

де m - число періодів нарахування відсотків в році.

Приклад 11. Вкладник поклав на депозитний рахунок 10 тис. грн. на 2 роки з умовою поквартального нарахування процентів. Процентна ставка 12%. Відсотки складні. Визначити майбутню вартість грошей через 2 роки.

Рішення: Використовуємо формулу 19

тис. грн.

У фінансових обчисленнях по схемі складних відсотків часто виникає необхідність за відомими даними визначити період дії фінансової угоди або процентну ставку.

Термін дії фінансової операції можна визначити по формулам:

а) при нарощуванні по номінальній ставці відсотків:

, (20)

б) за умови внутрішніх нарахувань (m) разів на рік:

, (21)

Номінальна процентна ставка визначається по формулі:

, (22)

Процентна ставка при внутрішньорічних нарахуваннях визначається по формулі:

, (23)

Різними видами фінансових угод можуть бути передбачені різні схеми нарахування відсотків. Щоб полегшити порівняльний аналіз ефективності таких договорів необхідно мати показник, який був би універсальним для будь-якої схеми нарахування. Таким показником може бути ефективна річна процентна ставка (r), яка забезпечує перехід від первинної величини вкладеної суми (Р) до майбутньої вартості грошових коштів (F) при заданих значеннях цих показників.

По Е.М. Четиркіну множники номінальної і ефективної ставок повинні бути рівні:

, (24)

Звідки ефективна річна процентна ставка дорівнює:

, (25)

З формули 25 виходить, що ефективна ставка залежить від кількості внутрішньорічних нарахувань, причому із зростанням (m) вона збільшується.

Приклад 12. Підприємство може отримати позику на наступних умовах:

1. щомісячного нарахування відсотків по ставці 14% річних;

2. щоквартального нарахування відсотків по ставці 16% річних;

3. піврічного нарахування відсотків по ставці 18% річних;

4) річного нарахування відсотків по ставці 20% річних. Який варіант нарахування кращий для підприємства?

Рішення: Скористаємося формулою 25

1. r = (1 + 0,14 /12)¹² -1 = 0,14934 або 14,9%;

2. r = (1 + 0,16/4)⁴ – 1= 0,16985 або 17,0%;

3. r = (1 + 0,18/2)² – 1 = 0,1881 або 18,8%;

4. r = (1 + 0,2) -1 = 0,2 або 20%.

Розрахунок ефективної річної процентної ставки показує відносні витрати підприємства по обслуговуванню позики. Чим вище ефективна ставка, тим більше рівень витрат підприємства.

Отже, варіант 1 найбільш переважний для підприємства, оскільки питома вага витрат по обслуговуванню позики складає тільки 14,9% проти 17%, 18,8%, 20% при інших варіантах нарахування.

Нарахування відсотків на початково вкладену суму грошових коштів гризе проводитися дуже часто, тому такий процес нарахування можна розглядати як безперервний. В цьому випадку використовуються безперервні відсотки. Суть безперервних відсотків полягає в тому, що кількість періодів нарощування прагне до нескінченності, а часовий інтервал між періодами нарахування - до нуля.

Позначимо ставку безперервних відсотків (q), тоді майбутня вартість грошей в межах одного року визначається по формулі:

, (26)

Якщо процес безперервного нарахування відсотків продовжується більше 1 року, то формула майбутньої вартості приймає вигляд:

(27)

Із взаємозв'язку між процентною і безперервною ставками виходить:

, (28)

(29)

Нарахування складних антисипативних відсотків проводиться аналогічно розрахунку простих антисипативних відсотків. З цією метою для визначення майбутньої вартості грошей при використанні складних антисипативних відсотків застосовується формула:

, (30)

де - коефіцієнт нарощування при обчисленні складних антисипативних відсотків;

d - облікова ставка складних відсотків;

t - число років;

Р - первинна сума грошей;

F - майбутня вартість грошей.

Якщо нарощування по складних антисипативним відсотках проводиться (m) раз на рік, то майбутня вартість грошей визначається по формулі:

, (31)

де m - число періодів нарахування процесів в рік.

Приклад 13. Сума 40 тис. грн. покладена в банк на 2 роки. За умовами договору нарахування відсотків проводиться по складній обліковій ставці d=10% річних. Визначити майбутню вартість грошей.

Рішення: Використовуємо формулу 30

тис. грн.

Як вже наголошувалося раніше, інфляційні процеси є одним з чинників зміни вартості грошей в часі. Тому у фінансових розрахунках необхідно враховувати інфляційний чинник.

Для визначення майбутньої вартості грошей з урахуванням інфляції по схемі складних відсотків може бути використана формула:

, (32)

де F_L - майбутня вартість грошей з урахуванням інфляції по схемі складних відсотків;

Р - первинна сума вкладених грошей;

- множник нарощування, що враховує середньорічні темпи інфляції;

t - число повних років;

n — номінальна ставка відсотків;

L — темп приросту інфляції;

(1 + L)^t = J_t - індекс інфляції за t період.

Приклад 14. Вкладник вклав в банк суму рівну 10 тис. грн. на термін 3 року під 12,5% річних. Темп приросту інфляції складе 6,5% в рік. Визначимо майбутню вартість грошей з урахуванням інфляційного чинника. Для розрахунку використовується складна процентна ставка.

Рішення: Використовуємо формулу 32

тис. грн.

Для зменшення дії інфляції і компенсації втрат від зниження купівельної спроможності грошей використовуються різні методи. Одним з них є індексація процентної ставки. Суть цього методу полягає в тому, що процентна ставка корегується відповідно до темпу інфляції. Величина корегування зазначається в договорі.

Процентну ставку, скореговану на темп інфляції можна визначити по формулі:

, (33)

де J_t — індекс інфляції за t період;

t - термін фінансової операції;

n - номінальна процентна ставка;

n_L - процентна ставка, скорегована на індекс інфляції.

Приклад 15. Банк виділив кредит на 8 місяців у розмірі 300 тис. грн. Очікуваний рівень інфляції - 0,5% на місяць, необхідна реальна прибутковість операції дорівнює 16% річних .Визначити ставку відсотків за кредитом з урахуванням інфляції, майбутню вартість виданої суми, величину процентного платежу.

Рішення: Використовуємо формули 32 і 33.

або 22,8%

тис. грн.

Процентний платіж = 345,6 - 300 = 45,6 тис. грн.

При видачі довгострокових кредитів складна ставка відсотка (n_L), що забезпечує при річному рівні інфляції (L) реальну ефективність фінансової операції (n), визначається по формулі:

, (34)

Приклад 16. Підприємство отримало кредит у розмірі 5 млн. гр. на 3 роки. Прибутковість по кредиту повинна складати 20% річних (складні відсотки). Прогнозований рівень інфляції 5% в рік. Визначити ставку відсотків при видачі кредиту, а також майбутню вартість заборгованості.

Рішення: Використовуємо формули 34 і 32

n_L = 0,2 + 0,05 + 0,2 х 0,05 = 0,26 або 26%

F_L = 5 х (1+0,26)³ = 10,00188 = 10,002 млн. грн.

У тому випадку, коли використовується величина індексу інфляції за весь термін фінансової операції, то процентна ставка, що враховує інфляцію, визначається по формулі:

(35)

4.3. Справжня вартість грошей, її визначення і використання у фінансових розрахунках

Справжня вартість грошей - це сума, що отримується в результаті приведення майбутньої вартості грошей до справжнього моменту за допомогою дисконтної ставки.

Якщо припустити, просту фінансову операцію, в результаті якої майбутня вартість засобів (F) приводиться до деякої справжньої суми (Р), то така операція характеризується показником, що називається темпом зниження (і(t)):

(36)

Темп зниження прийнято називати коефіцієнтом дисконтування або дисконтною ставкою.

Приклад 17. Підприємство повинне повернути в банк суму довга у розмірі 500 тис. грy. Справжня приведена сума кредиту, взятого на один рік, склала 400 тис. грн. Визначити коефіцієнт дисконтування або дисконтну ставку.

Рішення: Використовуємо формулу 36

або 20%

Метод дисконтування найчастіше використовується в операціях по обліку векселів і оцінки ефективності інвестиційних проектів.

Облік векселя - це вирішення банку купити вексель у векселедержателя.

У теорії фінансових обчислень існують два методи розрахунку справжньої вартості: математичний і банківський (комерційний).

При математичному методі визначення справжньої вартості використовується процентна дисконтна ставка, тобто вирішується завдання зворотнє визначенню нарощеної суми. Це завдання, формулюється таким чином: яку суму грошей слід дати у борг на термін (t) років, щоб при нарахуванні на неї відсотків по ставці (n) отримати нарощену величину, рівну (F).

Банківський метод визначення справжньої вартості заснований на використанні облікової ставки (d), тобто відсотки за користування позикою нараховуються на суму, що підлягає сплаті в кінці терміну позики.

Визначення справжньої вартості грошей при математичному методі припускає використання схем простої і складної дисконтної ставки.

Справжня вартість грошей при використанні простої дисконтної ставки визначається по формулі:

, (37)

де Р - проста процентна дисконтна ставка;

t - термін фінансової операції (число повних років); у випадку коли (t) менше 1 року, тоді (f - число днів операції або число днів обернення векселя, або число днів до дати погашення векселя, або число місяців руху векселя; k - тривалість року в днях або в місяцях - 365(366) днів або 12 місяців):

F - майбутня вартість грошей (майбутня або номінальна вартість векселя).

Дисконт визначається по формулі:

, (38)

Приклад 18. Банк видав вексель строком на 1 рік, по якому можна буде отримати суму, 250 тис. грн. Яка була внесена до банку сума грошей у момент придбання векселя, якщо його прибутковість повинна скласти 11% річних?

Рішення: Використовуємо формулу 37

тис. грн.

Приклад 19. Власник векселя номінальною вартістю 250 тис. грн. і терміном обернення 1 рік надав його банку - емітенту для обліку за 120 днів до дати погашення. Банк врахував вексель по ставці 16% річних. Визначити суму, що отримана власником векселя і величину дисконту, отриману банком.

Рішення: Використовуємо формули 37 і 38

тис. грн.

тис. грн.

Справжня вартість грошей при використанні складної процентної дисконтної ставки визначається по формулі:

, (39)

де

і - складна процентна дисконтна ставка.

У фінансових обчисленнях базова формула (4.39) визначення справжньої вартості може бути трансформована з урахуванням різних періодів формування грошових потоків:

(40)

де F₁, F₂, F₃, …F_t - майбутня вартість грошей, що формується по періодах;

(1 +i)¹, (1 +i )², (1 +i)³ , …, (1 +i)^t - дисконтні множники по періодах;

t - число періодів, приведення майбутньої вартості до справжнього моменту часу.

Запропонована формула є базовою для оцінки ефективності інвестиційних проектів. Щоб оцінити ефективність інвестиційного проекту у формулу 40 необхідно внести невеликі доповнення, що припускають зменшення справжньої приведеної вартості на величину стартових інвестицій. Формула для розрахунку може бути:

, (41)

де NPV – чиста приведена вартість;

ІС - стартові інвестиції.

Приклад 20. Підприємство прогнозує реалізувати інвестиційний проект вартість в 1 млн. грн. базових інвестицій протягом одного року. Дисконтна процентна ставка встановлена за проектом на рівні 12% річних. Чистий поворотний грошовий потік формується протягом 5 років. У перший рік чистий поворотний потік складе 160 тис. грн., у другому році - 390 тис. грн., у третьому році 560 тис. грн., у четвертому році - 490 тис. грн., у п'ятому році - 350 тис. грн. Оцінити ефективність інвестиційного проекту, розрахувавши його справжню приведену вартість і суму дисконту за даним проектом.

Рішення: Використовуємо формулу 41

Оскільки отримана сума позитивна, то даний інвестиційний проект можна визнати як економічно ефективний. Проте для остаточного вирішення потрібний підрахунок і ряду інших показників, наприклад, періоду або терміну окупності і тому подібне.

При нарахуванні складних дисконтних відсотків (m) раз на рік формулу 39 можна представити у такому вигляді:

, (42)

де - дисконтний множитель.

Для формул 39 і 42 значення дисконту може бути визначено по наступним формулам:

, (43)

, (44)

Приклад 21. Визначити справжню вартість суми 120 тис. грн., яку повинні виплатити через 3 роки, якщо на первісну суму нараховувалися складні відсотки в розмірі 12% річних. Додаткові умови: а) нарахування проводилося 1 раз на рік; б) нарахування проводилося щокварталу.

Рішення: Використовуємо формули 39 і 42

а) тис. грн.

б) тис. грн.

При банківському методі визначення справжньої приведеної вартості грошей при простій обліковій дисконтній ставці розрахунок проводиться по формулі:

(45)

де d - облікова дисконтна ставка, долі одиниць.

Задача 22. Векселедержатель надав для обліку вексель на суму 3 млн. грн. з терміном погашення 1 лютого поточного року. Вексель пред'явлено 12.01 поточного року. Банк погодився врахувати вексель з дисконтом 14% річних. Визначити суму, яку отримає векселедержатель і суму дисконту, отриману банком.

Рішення: Використовуємо формулу 45

тис. грн. (отримав векселедержатель).

тис. грн.(сума дисконту).

Задача 23. Підприємство продало товар в кредит з оформленням простого векселя, номінальна вартість якого 450 тис. грн., термін векселя - 60 днів, ставка відсотка за кредит - 19% річних. Через 45 днів з моменту оформлення векселя підприємство вирішило врахувати вексель в банку; запропонована банком дисконтна ставка склала 15% річних. Визначити суми, отримані підприємством і банком в результаті даної операції.

Рішення:

а) визначимо майбутню вартість векселя до моменту його погашення:

тис. грн.

б) визначимо термінову вартість векселя у момент обліку його банком:

тис. грн..

в) визначимо суму, яку отримає підприємство:

тис. грн.

г) визначимо суму грошей, яку отримає банк за 15 днів до погашення векселя:

464,055 - 460,541 = 3,514 тис. грн.

д) визначимо суму комісійних, отриманих банком при обліку векселя:

460,541 - 455,473 = 5,068 тис. грн.

е) загальна сума коштів, отримана банком при обліку векселю:

3,514 + 5,068 = 8,582 тис. грн.

Справжня вартість грошей при складній дисконтній обліковій ставці визначається по формулі:

(46)

де d - складна річна дисконтна облікова ставка.

Дисконт обчислюється за формулою:

(47)

Складна дисконтна облікова ставка може бути визначена по формулі:

(48)

4.4. Фінансові ренти (ануїтети) і їх практичне використання

Фінансовою рентою або ануїтетом називається ряд послідовних фіксованих платежів, що виконуються через рівні проміжки часу.

Фінансові ренти (ануїтети) характеризуються такими параметрами:

1. член ренти - величина кожного окремого платежу;

2. період ренти - часовий інтервал між двома платежами;

3. термін ренти - час від початку реалізації ренти до моменту нарахування останнього платежу;

4. процентна ставка - ставка, що використовується для розрахунку нарощування платежів, складових ренту.

Крім того, рента характеризується: кількістю платежів в рік, частотою нарахування відсотків, моментом виробництва платежу (на початку, середині або в кінці року) і так далі.

Узагальнюючими показниками ренти (ануїтету) є майбутня (нарощена) і поточна або справжня (приведена) її величина.

Майбутня вартість ануїтету - це сума всіх членів потоку платежів з нарахованими на них відсотками на кінець терміну, тобто на дату останньої виплати.

Для визначення майбутньої вартості звичайного ануїтету можна використовувати формулу:

(49)

де F - майбутня вартість звичайного ануїтету;

C - величина щорічного внеску (платежу);

T - термін ануїтету;

n - процентна ставка;

- коефіцієнт нарощування ануїтету.

У практиці фінансових розрахунків з використанням ануїтетів можуть бути різні варіанти рентних платежів і нарахування відсотків. Розглянемо 4 можливих варіантів ануїтетів.

1. Рентні платежі вносяться раз на рік, а відсотки на них нараховуються кілька разів на рік, наприклад, (m) разів на рік. В цьому випадку майбутня вартість ануїтету визначається по формулі:

(50)

2. Рентні платежі вносяться кілька разів протягом року рівними сумами, а нарахування відсотків проводиться один раз в кінці року. За таких умов майбутня вартість ануїтету може бути визначена:

, (51)

де р — число рентних платежів протягом року.

3. Рентні платежі вносяться (р) раз на рік, нарахування відсотків проводиться (m) раз на рік, число періодів нарахування відсотків протягом року рівне числу рентних платежів і перебіг року, тобто m = р. В цьому випадку майбутня вартість ануїтету визначається по формулі:

де n - номінальна ставка відсотків;

t - термін ренти в роках;

m - число періодів нарахування відсотків протягом року.

Рентні платежі вносяться (р) раз на рік, нарахування відсотків проводиться (m) раз на рік, число рентних платежів дорівнює числу періодів нарахування відсотків, тобто р ≠ m. Майбутня вартість ануїтету може бути визначена з формули:

, (53)

де р - число рентних платежів протягом року;

m - число періодів нарахування відсотків протягом року;

n - номінальна процентна ставка;

t - термін ренти.

Приклад 24. Рентні платежі виплачуються протягом 5 років у розмірі 10 тис. грн. Процентна ставка 12% річних. Визначити майбутню вартість ануїтету за наступних умов:

а) платежі вносяться один раз до року, а відсотки нараховуються щоквартально;

б) платежі вносяться 2 рази до року рівними сумами, а відсотки нараховуються один раз в рік;

в) рентні платежі вносяться щоквартально, відсотки нараховуються щоквартально;

г) рентні платежі вносяться щокварталу, а відсотки нараховуються по півріччям.

Рішення: Використовуємо формули 50, 51, 52, 53

а) F = 10 х ((1 + 0,12 / 4)^5х4 -1)/(1 + 0,12 /4)⁴-1) = 64,227 тис. грн.

б) F = 10 х ((1 + 0,12)⁵ -1) /(2 х ((1 + 0,12)^1/2 -1)) = 65,380 тис. грн.

в) F = 10 х ((1 + 0,12 /4)^5х4-1)/ 0,12 = 67,176 тис. грн.

г) F = 10 х ((1 + 0,12 / 2)^5х2 -1) /(4 х ((1 + 0,12 / 2)^2/4 -1)) = 66,878 тис. грн.

При здійсненні фінансових обчислень іноді виникає необхідність визначення розмірів разових платежів і терміну ануїтету.

Величина рентного платежу може бути визначена по формулі:

(54)

Термін ануїтету визначається по формулі:

(55)

Справжня величина потоку рентних платежів - це сума всіх його членів, зменшена (дисконтована) на величину процентної ставки на певний момент часу, співпадаючий з початком потоку платежів, або передуючий йому.

Справжня величина показує, яку суму необхідно мати спочатку, щоб, розбивши її на рівні внески, на які б нараховувалися встановлені відсотки протягом терміну ренти, можна було забезпечити отримання нарощеної суми.

Оцінка справжньої величини проводиться на момент початку реалізації ренти.

Для ренти з членами, рівними (С), справжня величина визначається по формулі:

(56)

де А — справжня величина потоку рентних платежів;

С — сума рентного платежу;

а — коефіцієнт приведення ренти, що показує, скільки рентних платежів (С) міститься в справжній величині.

Коефіцієнт приведення ренти (а) визначається по формулі:

(57)

Приклад 25. Сім'я бажає протягом 3 років зібрати суму для придбання автомобіля вартістю 95 тис. грн. Вона може виділити на ці цілі 28 тис. грн. щорічно, поміщаючи їх в банк під 12,5% річних (відсотки складні). Яка сума була б потрібна сім'ї для придбання автомобіля вартістю 95 тис. грн., якби суму, що необхідна, помістили в банк на 3 роки під 12,5% річних?

Рішення: С=28 тис. грн., t=3; n=12,5%.

тис. грн.

Дійсно, якби сім'я мала можливість вказану суму (66,678 тис. грн.) помістити в банк на три роки під 12,5% річних, то нарощена сума склала б:

F = 66,678 х (1 + 0,125)³ = 94,938 тис. гр. ≈ 95 тис. грн.

Нарощена сума при щорічних платежах у розмірі 28 тис. грн. під 12,5% річних складе:

тис. грн.

З цього прикладу можна вивести математичний взаємозв'язок величин:

(58)

або

(59)