Модель экономического роста Солоу.

Модель построена на неоклассической предпосылке господства совершенной конкуренции на рынках факторов производства, обеспечивающей полную занятость ресурсов. Выпуск продукции — функция не только капитала, но и труда, которые являются хорошими субститутами, и сумма коэффициентов эластичности выпуска по этим факторам равна единице.

Сначала модель описывает равновесие экономической системы при нейтральности технического прогресса и постоянной отдаче от масштаба, в дальнейшем в нее вводятся технологические сдвиги посредством изменения нормы накопления и убывающей отдачи от масштаба.

Р. Солоу исходит из того, что необходимым условием равновесия экономической системы является равенство совокупного спроса и совокупного предложения. При этом совокупное предложение в его модели определяется на основе производственной функции Кобба—Дугласа, выражающей отношение функциональной зависимости между объемом производства, с одной стороны, и используемыми факторами и их взаимной комбинацией — с другой. Производственная функция Кобба—Дугласа обладает тем свойством, что доли каждого фактора в стоимости продукта постоянны, хотя в абсолютном выражении затраты труда и капитала могут изменяться.

В самом общем виде объем национального выпуска Y является функцией трех факторов производства: труда L, капитала К. и земли N: Y = f (L, K, N).

Однако фактор земли в модели Р. Солоу был опущен ввиду его малой значимости в экономических системах, характеризующихся высоким техническим уровнем, и поэтому объем выпуска зависит лишь от использования трудовых ресурсов и производственных мощностей:

В развернутом виде данная функция примет вид: Y = (ΔY/ΔL)L + (ΔY/ΔK)K

где ΔY/ΔL — предельный продукт труда MPL;

ΔY/ΔK — предельный продукт капитала МРК.

Рис. 16-1. График производственной функции в модели Р. Солоу

Это означает, что общий продукт (выпуск) равняется сумме произведений затраченного количества труда L и капитала К на их предельные продукты, т. е. на приросты продуктов от увеличения затрат труда ΔL и затрат капитала ΔК.

Для упрощения функции обозначим: y = Y/L, где у — выпуск продукции в расчете на одного Работника, или производительность труда;

k = K/L, где к — капиталовооруженность (фондовооруженность) труда.

Тогда производственную функцию можно записать: y = f (k), где f(k) = F(k, l).

Графическое изображение данной функции представлено на рис. 16-1.

График показывает, что капиталовооруженность к определяет размер выпуска продукции в расчете на одного работника: y = f(k). Тангенс угла наклона касательной h равен предельной производительности капитала: если к увеличивается на одну единицу, то у возрастает на МРК единиц. При этом мы видим, что по мере роста капиталовооруженности труда его производительность увеличивается, но с убывающей скоростью, поскольку предельная производительность капитала снижается.

Совокупный спрос в модели Р. Солоу определяется инвестиционным и потребительским спросом (государственные закупки для простоты не учитываются). Уравнение выпуска в расчете на одного работника примет вид: Y=c+i, где c и i — потребление и инвестиции в расчете на одного занятого.

Поскольку доход используется на потребление и сбережения в соответствии со сложившейся склонностью к сбережению, то функцию потребления можно представить как с = (I-s)y, где s — норма сбережения (накопления).

Тогда откуда y = c+I = (l-s)y + i, откуда i = sy.

Иначе говоря, в условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

Таким образом, мы получили две составляющие модели Р. Солоу — производственную функцию и функцию спроса. В результате условие равенства спроса и предложения может быть представлено как: f(k) = c+i или f(k) = i/s.

Производственная функция определяет предложение на рынке товаров, а накопление капитала — спрос на произведенную продукцию.

Теперь посмотрим, как накопление капитала обеспечивает экономический рост. Объем капитала меняется под воздействием инвестиций и выбытия: инвестиции увеличивают запас капитала, выбытие — уменьшает.

Инвестиции в расчете на одного работника являются частью дохода, приходящегося на одного работника (i=sy) так что, заменив у выражением производственной функции, получим уравнение инвестиций как функцию от капиталовооруженности: i = sf(k).

Из уравнения следует, что, чем выше уровень капиталовооруженности k, тем выше уровень производства (k) и больше инвестиции i. Это свидетельствует о наличии связи между существующими запасами капитала к и накоплением нового капитала i, что иллюстрирует рис. 16-2. На нем показано, как норма сбережений .9 определяет деление произведенного продукта на потребление с и инвестиции i

Рис. 16-2. Производство у и спрос (с + /) в расчете на одного работника

Для любого уровня капиталовооруженности к объем производства составляет f(k), инвестиции — sf(k), а потребление соответственно f(k) – sf(k).

Для определения объема амортизации капитала допустим, что ежегодно выбывает определенная его доля d, называемая нормой амортизации. Например, если капитал эксплуатируется 10 лет, то норма выбытия равна 0% в год (У = 0,1). Таким образом, количество капитала, которое выбывает каждый год, составляет dk. На рис. 16-3 показано, что ежегодно выбываемая часть капитала пропорциональна запасам капитала.

Таким образом, влияние инвестиций и выбытия на запасы капитала можно выразить следующей формулой: Δ k = i – dk, где Δk— изменение запасов капитала, приходящееся на одного работника.

Используя равенство инвестиций и сбережений, получим: Δk = sf(k) – dk.

Оно показывает, что запас капитала к будет увеличиваться до уровня, пока инвестиции не уравняются с объемом выбытия

На рис. 16-4 это состояние изображает точка Е, которой соответствует устойчивый (равновесный) уровень капиталовооруженности труда k*.

При достижении к* экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия. Независимо от первоначального объема капитала, с которого экономика начинает развиваться, она затем достигает устойчивого состояния.

Рис. 16-3. График выбытия капитала

Если запасы капитала ниже устойчивого уровня k₁ инвестиции превышают выбытие, капиталовооруженность увеличивается и будет расти, пока не приблизится к уровню k*. Если запасы капитала соответствуют точке k₂, то инвестиции меньше, чем износ, а значит, запасы капитала будут сокращаться, приближаясь к уровню k*.

Рис. 16-4. Инвестиции, выбытие и устойчивый уровень капиталовооруженности

На равновесный уровень капиталовооруженности оказывает влияние норма накопления (сбережения). Ее рост с s₁ до s₂ сдвигает кривую инвестиций с s₁f(k) до s₂f(k), и экономика переходит в новое равновесное состояние с большей капиталовооруженностью (k₂*) и более высокой производительностью труда (рис. 16-5).

Рис. 16-5. Влияние нормы сбережений на равновесное состояние в экономике

Таким образом, модель Р. Солоу показывает, что норма сбережения (накопления) — ключевой фактор, определяющий уровень устойчивой капиталовооруженности. Более высокая норма сбережения обеспечивает больший запас капитала и более высокий уровень производства.

Вместе с тем очевидно, что процесс накопления как результат повышения нормы сбережения не объясняет механизма экономического роста, а лишь показывает переход от одного равновесного состояния к другому. Поэтому дальнейшее развитие модели Р. Солоу предполагает изменение численности населения (занятых работников) и ускорения технического прогресса. Сначала введем фактор роста населения.

Равновесный уровень капиталовооруженности при росте населения.

Предположим, население растет с постоянным темпом п. Очевидно, что увеличение численности работников при прочих равных условиях приведет к сокращению капиталовооруженности труда. В результате уравнение, показывающее изменение запаса капитала на одного работника, будет выглядеть следующим образом:

Δk = i-dk-nk → Δk = i-(d+n)k.

Поскольку капиталовооруженность труда снижается (так как запас капитала распределяется между возросшим числом занятых), то для поддержания его на прежнем уровне необходим такой объем инвестиций, который не только покрывал бы выбытие капитала, но и обеспечивал бы капиталом новых работников в том же объеме, что и старых.

Рис. 16-6. Рост населения в модели Р. Солоу

Математически это требование, характеризующее устойчивое равновесие в экономике при неизменной капиталовооруженности к*, примет вид: Δk =sf(k)-(d+n)k = 0 или sf(k) = (d+n)k.

Составляющая (d+n)k в уравнении характеризует критическую величину инвестиций — такой их объем, который необходим для поддержания капитала, приходящегося на одного работника, на постоянном(неизменном) уровне.

Чтобы изобразить графически модель Р. Солоу с учетом роста населения, обозначим устойчивый уровень капиталовооруженности труда k*. Как мы только что установили, экономика будет находиться в равновесном состоянии, если капитал на одного работника k = const. Если k₁ < k*, то фактические инвестиции больше их критической величины и k₁ растет. Если k₂ > k*, инвестиции меньше их критического уровня и k₂ падает (рис. 16-6).

Модель показывает, что для того чтобы экономика находилась в устойчивом состоянии, инвестиции sk(f) должны компенсировать последствия выбытия капитала и роста населения (d+n)k, что изображает на рис. 16-6 точка Е. В этом случае капиталовооруженность k и производительность труда у остаются неизменными. Но постоянство капиталовооруженности при росте населения означает, что капитал должен возрастать с тем же темпом, что и население, т. е. ΔY/Y = ΔL/L = ΔK/K = n.

Рис. 16-7. Последствия роста населения при неизменных запасах капитала

Отсюда следует вывод: рост населения — одна из причин непрерывного экономического роста в условиях устойчивого состояния экономики.

Однако если рост населения не сопровождается увеличением инвестиций, то это ведет к уменьшению запаса капитала на одного работника. На рис. 16-7 показано, что рост населения с п до я, сдвигает линию (d + n)k вверх, в положение (d₁ + n₁)k что сокращает капиталовооруженность с k* до k₁*. Таким образом, модель Р. Солоу объясняет, что страны с более высокими темпами роста населения имеют меньшую капиталовооруженность, а значит — более низкие доходы.

Учет в модели Р. Солоу технического прогресса. Третьим источником экономического роста после инвестиций и увеличения численности занятых является технический прогресс. В неоклассической теории под техническим (технологическим)прогрессом понимается не машинизация производства (замена живого труда машинами), а качественные изменения в производстве (повышение образовательного уровня работников, улучшение организации, рост масштабов производства и т. п.).

Включение в модель технического прогресса изменит исходную производственную функцию, и она примет вид: Y = f(K,L,ε), где ε— эффективность труда одного работника (зависит от здоровья, образования и квалификации рабочей силы); Lε — численность эффективных единиц рабочей силы.

Рис. 16-8. Учет технического прогресса в модели Р. Солоу

Технический прогресс вызывает прирост эффективности ε с постоянным темпом g. Поэтому если g = 2%, то отдача от каждой единицы труда увеличится на 2% в год, а это равносильно тому, что объем производства возрастет так, как если бы рабочая сила за год выросла на 2%. Такая форма технического прогресса называется трудосберегающей, a g — темпом трудосберегающего технического прогресса.

Теперь можно определить устойчивый уровень капиталовооруженности при техническом прогрессе. Если численность занятых L растет с темпом п, а эффективность s растет с темпом g, то Lε будет увеличиваться с темпом п + g. Капитал на единицу труда с постоянной (начальной) эффективностью составит k₁ + [K/(Lε)], а объем производства на единицу труда с постоянной эффективностью y₁ = Y/(Lε). Состояние устойчивого равновесия в этом случае будет достигаться при условии: sf(k₁) = (d+n+g)k₁.

Равенство показывает, что существует лишь один уровень капиталовооруженности k₁*, при котором капитал и выпуск, приходящиеся на единицу труда с неизменной эффективностью, постоянны. Это устойчивое состояние представляет собой долгосрочное равновесие экономики (рис. 16-8).

В устойчивом состоянии k₁* при наличии технического прогресса общий объем капитала К и выпуск У будут расти с темпом п +g. В расчете на одного работника капиталовооруженность K/L и выпуск Y/L будут расти с темпом g. Это говорит о том, что технический прогресс в модели Р. Солоу — единственное условие непрерывного роста уровня жизни.

Таким образом, модель Р. Солоу позволяет раскрыть взаимосвязь трех источников экономического роста — инвестиций, численности рабочей силы и технического прогресса. Воздействие государства на экономический рост возможно через его влияние на норму сбережения (накопления) и на скорость технического прогресса.

Какой должна быть норма сбережения? Как мы выяснили, равновесный экономический рост совместим с различными нормами сбережения, поэтому оптимальной будет считаться норма, обеспечивающая экономический рост с максимальным уровнем потребления. Такая норма соответствует "золотому правилу". Устойчивый уровень капиталовооруженности, соответствующий этой норме накопления, обозначим к*', а потребления — с".

Ранее мы отмечали, что произведенная продукция расходуется на потребление и инвестиции: y = c + i, откуда следует: с = y-i.

Подставляя значение данных параметров, которые они имели в устойчивом состоянии, получим: c* = f(k*) – dk*, где с* — потребление в состоянии устойчивого роста.

Устойчивый уровень капиталовооруженности, при котором максимизируется объем потребления, соответствует "'золотому правилу". Капиталовооруженность по "золотому правилу" обозначена к*', а потребление по "золотому правилу" — с" (рис. 16-9).

При капиталовооруженности, соответствующей уровню "золотого правила", производственная функция /(к*) и линия dk' имеют одинаковый наклон и потребление достигает максимального уровня.

При уровне капиталовооруженности к'* увеличение запаса капитала на единицу дает прирост выпуска, равный предельному продукту капитала МРК, и увеличивает выбытие капитала на величину d. Таким образом, при уровне капиталовооруженности к**, соответствующем "золотому правилу", выполняется условие а с учетом роста населения и технического прогресса: MPK = d+n+g.

Рис. 16-9. Устойчивый уровень потребления по "золотому правилу"

Если экономика развивается с запасом капитала, большим, чем она могла бы иметь по "золотому правилу", то в этом случае необходимо проводить политику, направленную на снижение нормы сбережений. Уменьшение нормы сбережения ведет к увеличению потребления и соответствующему снижению инвестиций, а значит, и уменьшению устойчивого уровня запаса капитала.

Если экономика начинает развиваться с меньшей капиталовооруженностью, чем при устойчивом состоянии по "золотому правилу", необходимо увеличить норму сбережений. Это повысит инвестиции и снизит потребление, но по мере накопления капитала с некоторого момента потребление снова начнет расти. В результате экономика достигнет нового равновесного состояния, но уже в соответствии с "'золотым правилом", где потребление будет иметь более высокий уровень по сравнению с начальным.