1.5. Математическое обеспечение финансового менеджмента

Большинство финансовых расчетов осуществляется на основе финансовой математики. Основными понятиями финансовой математики являются: процентные деньги (далее проценты), процентные ставки, наращивание, множитель (коэффициент) наращивания, период начисления и интервал начисления.

Проценты – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты и т. д.), либо от инвестиций производственного или финансового характера.

Процентная ставка – это величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.

Величина получаемого дохода (т. е. процентов) определяется исходя из величины вкладываемого капитала, срока, на который он предоставляется в долг или инвестируется, размера и вида процентной ставки (ставки доходности).

Наращивание (рост) первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).

Множитель (коэффициент) наращивания – это величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.

Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты (получается доход). В дальнейшем будем полагать, что период начисления совпадает со сроком, на который представляются деньги. Период начисления может разбиваться на интервалы начисления.

Интервал начисления – это минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.

Существуют две концепции и, соответственно, два способа определения и начисления процентов: декурсивный и антисипативный.

Декурсивный способ начисления процентов характеризуется тем, что проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется исходя из величины предоставляемого в качестве ссуды капитала. Соответственно, декурсивная процентная ставка, или, что то же самое, ссудный процент, представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного за определенный интервал дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.

Антисипативный (предварительный) способ начисления процентов предполагает их начисление в начале каждого интервала начисления. Сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентной ставкой является выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал, к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала. Определяемая таким способом процентная ставка называется (в широком смысле слова) учетной ставкой, или анисипативным процентом.

В мировой практике декурсивный способ начисления процентов получил наибольшее распространение. В странах с развитой рыночной экономикой анитисипативный метод начисления процентов применялся, как правило, в периоды высокой инфляции.

При обоих способах начисления процентов процентные ставки могут быть либо простыми (если они применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления), либо сложными (если по прошествии каждого интервала начисления они применяются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов).

В российской практике понятия ссудного процента и учетной ставки обычно не различаются и обозначаются собирательным термином «процентная ставка» (термин «учетная ставка» можно также встретить только применительно к ставке рефинансирования Центрального банка и к вексельным операциям).

В связи с этим необходимо подчеркнуть, что по мере развития рыночных отношений вопрос различия декурсивного и антисипативного методов начисления приобретает все большую актуальность.

Простые ставки ссудных (декурсивных) процентов применяются обычно в краткосрочных финансовых операциях, когда интервал начисления совпадает с периодом начисления (и составляет, как правило, срок менее одного года), или когда после каждого интервала начисления кредитору выплачиваются проценты. Естественно, простые ставки ссудных процентов могут применяться и в любых других случаях по договоренности участвующих в операции сторон.

Расчет простой ставки ссудного процента в долях единиц и процентов производится по формуле

(1.1)

(1.2)

где – сумма процентных денег, выплачиваемых за год; – общая сумма процентных денег за весь период начисления; – величина первоначальной денежной суммы.

Общая сумма процентов за весь период начисления определяется по формуле

(1.3)

где n – продолжительность периода начисления в годах.

Наращенная сумма определяется по формуле

S = P + I. (1.4)

Коэффициент наращения определяется по формуле

(1.5)

Продолжительность периода начисления в годах определяется по формуле

(1.6)

где d – продолжительность периода начисления в днях; K – продолжительность года в днях. Величина K является временной базой для расчета процентов.

В зависимости от способа определения продолжительности финансовой операции рассчитывается либо точный, либо обыкновенный (коммерческий) процент.

Дата выдачи и дата погашения ссуды всегда считаются за один день. При этом возможны два варианта:

Вариант 1: используется точное число дней ссуды, определяемое по специальной таблице, где показаны порядковые номера каждого дня года; из номера, соответствующего дню окончания займа, вычитают номер первого дня.

Вариант 2: берется приблизительное число дней ссуды, когда продолжительность полного месяца принимается равной 30 дням; этот метод используется, когда не требуется большая точность, например, при частом погашении займа.

Точный процент получают, когда за временную базу берут фактическое число дней в году (365 или 366) и точное число дней ссуды.

Применяя последовательно формулы: наращения суммы (1.4), общей суммы процентов за весь период начисления (1.3), расчета простой ставки ссудного процента (1.1) и периода начисления в годах (1.6), получаем основную формулу для определения наращенной суммы:

S = P(1 + ni), (1.7)

или

(1.8)

На практике часто возникает обратная задача: узнать величину первоначальной денежной суммы Р, которая в будущем должна составить заданную величину наращения S. В этом случае Р называется современной (текущей, настоящей, приведенной) величиной суммы S. Определение современной величины Р наращенной суммы S называется дисконтированием, а определение величины наращенной суммы S – компаудингом.

В применении к ставке ссудного процента может также встретиться название математическое дисконтирование, несовместимое, кстати говоря, с учетными ставками. Из основной формулы, определяющей наращенную сумму (1.7), получаем формулу, соответствующую операции дисконтирования:

(1.9)

Преобразуя основную формулу наращенной суммы (1.7) (т. е. заменяя входящие в нее выражения на эквивалентные и выражая одни величины через другие), получаем еще несколько формул для определения неизвестных величин в различных случаях:

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

Иногда на разных интервалах начисления применяются разные процентные ставки. Если на последовательных интервалах начисления n₁, n₂, ..., n_N используются ставки процентов i₁, i₂, ..., i_N, то по формулам (1.1) и (1.3) сумма процентных денег в конце первого интервала составит

I₁ = Pn₁i₁,

в конце второго интервала:

I₂ = Pn₂i₂,

и т. д.

При N интервалах начисления наращенная сумма составит:

(1.14)

Для множителя наращения, следовательно, имеем:

(1.15)

Если после очередного интервала начисления дохода (т. е. начисленные за данный интервал проценты) проценты не выплачиваются, а присоединяются к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала, для определения наращенной суммы используются формулы сложных процентов. Сложные ссудные проценты в настоящее время являются весьма распространенным видом применяемых в различных финансовых операциях процентных ставок.

Если за интервал начисления принимается год, то по прошествии первого года в соответствии с основной формулой определения наращенной суммы (1.7) она составит

S₁ = P(1 + i_c),

где i_c – относительная величина годовой ставки сложных ссудных процентов.

Еще через год это выражение применительно к сумме S₁ примет вид

S₂ = S₁(1 + i_c) = P(1 + i_c)².

Очевидно, что по прошествии n лет наращенная сумма составит

S = P(1 + i_c)ⁿ. (1.16)

Коэффициент же наращения k_н.с будет равен

k_н.с = (1 + i_c)ⁿ. (1.17)

При начислении простых процентов в соответствии с формулами определения коэффициента наращения и наращенной суммы (1.5) и (1.7) коэффициент наращения составил бы K_н = (1 + ni).

Сравнивая два последних выражения для коэффициентов наращения, можно видеть, что чем больше период начисления, тем больше разница в величине наращенной суммы при начислении простых и сложных процентов.

Когда возникает возможность выбора между низкой сложной процентной ставкой и более высокой простой, следует отдавать предпочтение первому варианту. Естественно, если в нашем распоряжении есть более или менее значительный период времени. Сумма, наращенная по сложной процентной ставке уже через небольшое (в зависимости от разницы в величине процентных ставок) количество интервалов начисления превысит сумму, наращенную по простой ставке.

Если срок ссуды n в годах не является целым числом, множитель наращения определяют по выражению:

(1.18)

где n = n_a + n_b; n_a – целое число лет; n_b – оставшаяся дробная часть года.

На практике в данном случае часто предпочитают пользоваться формулой наращения суммы за n лет (1.16) с соответствующим нецелым показателем степени. Но нужно иметь в виду, что с точки зрения сущности начисления процентов этот способ является приблизительным, и погрешность при вычислениях будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Наибольшее расхождение получается при n_b = 1/2 – как раз в том случае, когда очень удобно применить эту формулу, ведь на всех калькуляторах есть операция извлечения квадратного корня (т. е. возведения в степень 1/2). Следует учитывать, что приблизительный метод дает меньший, чем в действительности, результат. Таким образом, в современной ситуации, когда номиналы денежных сумм достаточно велики, от этого метода лучше отказаться вовсе.

Предположим теперь, что уровень ставки сложных процентов будет разным на различных интервалах начисления. Пусть n₁, n₂, …, n_N – продолжительность интервалов начисления в годах; i₁, i₂, …, i_N – годовые ставки процентов, соответствующие данным интервалам. Тогда наращенная сумма в конце первого интервала начисления в соответствии с основной формулой наращенной суммы (1.7) будет S₁ = P(1 + n₁i_i), в конце второго интервала – S₂ = P(1 + n₁i₁)(1 + n₂i₂), и т. д. При N интервалах начисления наращенная сумма в конце всего периода начисления составит:

(1.19)

Если все интервалы начисления одинаковы (как и бывает обычно на практике) и ставка сложных процентов одна и та же, формула (1.19) принимает вид:

S_N = P(1 + ni)^N. (1.20)

Начисление сложных процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка сложных ссудных процентов j – годовая ставка, по которой определяется величина ставки процентов, применяемая на каждом интервале начисления. При m равных интервалах начисления и номинальной процентной ставке j эта величина считается равной j/m. Если срок ссуды составляет n лет, то, аналогично формуле наращения суммы за n лет (1.16), получаем выражение для определения наращенной суммы:

S_mn = P(1 + j/m)^mn, (1.21)

где mn – общее число интервалов начисления за весь срок ссуды.

Если общее число интервалов начисления не является целым числом (mn – целое число интервалов начисления, l – часть интервала начисления), то наращенная сумма (1.21) принимает вид S = P(1 + j/m)^mn(1 + lj/m). Для целого числа периодов начисления используется формула сложных процентов (1.16), а для оставшейся части – формула простых процентов (1.7).

В России в настоящее время наиболее распространенным является начисление процентов по полугодиям, поквартальное и ежемесячное (иногда интервалом начисления может являться и день). Проценты, начисляемые с определенной периодичностью, называются дискретными. В мировой практике часто применяется также непрерывное начисление сложных процентов (т. е. продолжительность интервала начисления стремится к нулю, а m – к бесконечности).

В этом случае для вычисления наращенной суммы служит следующее выражение:

(1.22)

Для расчетов можно использовать известную в математике формулу:

где е = 2,718288.

Из этой формулы следует: Тогда для наращенной суммы получаем

S = Pe^jn. (1.23)

Тогда коэффициент наращивания принимает вид:

k_н.с = e^jn. (1.24)

Значения наращенной суммы S можно вычислять с помощью финансового калькулятора или находя значения e^jn и других требуемых величин в специальных таблицах. Очевидно, что непрерывный способ начисления процентов дает максимальную величину наращенной суммы при прочих равных условиях (т. е. при одинаковых n, j, P).

Аналогично случаю простых процентов, полученные формулы можно преобразовать, выражая одни величины через другие, в зависимости от того, что известно и что требуется найти.

Так, из формулы (1.16) получаем:

(1.25)

Напомним, что, как и в случае простых процентов, определение современной величины суммы S называется дисконтированием. Коэффициент дисконтирования «а» является величиной, обратной коэффициенту наращения, т. е. k_н.с ∙ а = 1.

Формула (1.25), а также соответствующие формулы для случая простых ставок ссудного процента и для учетных ставок дают легко понять, что текущий финансовый эквивалент будущей денежной суммы тем ниже, чем отдаленнее срок ее получения и чем выше норма доходности.

Также из формулы наращения суммы за n лет (1.16) имеем

(1.26)

а из формулы (1.21) –

(1.27)

Применяя операцию логарифмирования к обеим частям формулы (1.16), получаем:

(1.28)

Подобным же образом из формулы (1.21) получаем формулу:

(1.29)

Если нет специального калькулятора, значения логарифмов также находят по таблицам. Существует несколько правил, позволяющих быстро рассчитать срок удвоения первоначальной суммы для конкретной процентной ставки. Эти правила принято называть правилом 72 и правилом 69 по используемым цифрам.

Правило «72»:

Правило «69» (более точное):

Здесь следует иметь в виду, что при выводе этих правил используются математические формулы, дающие верный результат не для любых значений входящих в них величин. Например, выражение 1/x < х (х > 0) неверно при х < 1. Данные правила дают весьма точный результат при небольших значениях i_c (%). До i_c = 100 (%) отклонения достаточно малы и ими можно пренебречь. При процентной ставке, равной, например, 120 %, погрешность (для правила «69») составляет 5,2 % (для правила «72» она будет больше) и растет с ростом i_c. При этом срок удвоения, полученный по правилу «69», будет больше, чем в действительности, а по правилу «72» – меньше.

Простые и сложные учетные ставки. При антисипативном способе начисления процентов сумма получаемого дохода рассчитывается исходя из суммы, получаемой по прошествии интервала начисления (т. е. из наращенной суммы). Эта сумма и считается величиной получаемого кредита (или ссуды). Так как в данном случае проценты начисляются в начале каждого интервала начисления, заемщик, естественно, получает эту сумму за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также коммерческим или банковским учетом.

Дисконт – это доход, полученный по учетной ставке, т. е. разница между размером кредита и непосредственно выдаваемой суммой. Тогда, согласно определениям, имеем следующие формулы:

(1.30)

D_г = dS; (1.31)

D = nD_г = ndS; (1.32)

P = S – D = S (1 – nd) = S [1 – (∂/K) d], (1.33)

где d (%) – простая годовая учетная ставка; d – относительная величина учетной ставки; D_г – сумма процентных денег, выплачиваемых за год; D – общая сумма процентных денег; S – сумма, которая должна быть возвращена; P – сумма, получаемая заемщиком.

Преобразуя последнее выражение, получаем формулу для определения наращенной суммы:

(1.34)

при 1 – nd > 0.

Из этой формулы легко видеть, что в отличие от случая простых ставок ссудного процента, простые учетные ставки не могут принимать любые значения. Именно для того, чтобы выражение (1.5) имело смысл, необходимо, чтобы знаменатель дроби в правой части был строго больше нуля, т. е. 1 – nd > 0, или d < 1/n. Правда, со значениями d, близкими к предельным, вряд ли можно встретиться в жизни.

На практике учетные ставки применяются главным образом при учете (т. е. покупке) векселей и других денежных обязательств. Из приведенных формул можно вывести еще две формулы для определения периода начисления и учетной ставки при прочих заданных условиях:

(1.35)

(1.36)

Рассмотрим теперь антисипативный способ начисления сложных процентов. По прошествии первого года наращенная сумма S₁ в соответствии с формулой (1.34) составит

где d_c – относительная величина сложной учетной ставки.

Еще через год эта формула будет применяться уже к сумме S₁: и т. д., аналогично случаю сложных ставок ссудных процентов.

По прошествии n лет наращенная сумма составит

(1.37)

Тогда коэффициент наращения для случая учетной ставки вычисляется так:

(1.38)

Сравнивая формулы относительной величины учетной ставки (1.31) и наращенной суммы по прошествии n лет (1.38), легко видеть, что при равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативный метод) идет быстрее. Из формулы наращения суммы (1.38) также явствует, что для периодов начисления, превышающих один год, учетная ставка может принимать значения только строго меньше (т. е. не достигающие) 100 %. Иначе величины P или S не будут иметь смысла, становясь бесконечными или даже отрицательными. Наращенная сумма S очень быстро увеличивается с ростом d, стремясь к бесконечности, когда d (%) приближается к 100 %.

Так же как и при декурсивном способе, возможны различные варианты начисления антисипативных процентов (начисление за короткий – меньше года – интервал, начисление m раз в году и т. д.). Им будут соответствовать формулы, полученные аналогичным образом.

Так, для периода начисления, не являющимся целым числом, имеем:

(1.39)

При учетной ставке, изменяющейся в течение срока ссуды, наращенная сумма

(1.40)

где n₁, n₂, ... n_N – продолжительность интервала начисления в годах, d₁, d₂, ..., d_N – учетные ставки, соответствующие данным интервалам.

Для начисления процентов m раз в году формула имеет вид:

(1.41)

где f – номинальная годовая учетная ставка или

(1.42)

При этом mn –целое число интервалов начисления за весь период начисления, l – часть интервалов начисления, j номинальная ставка ссудного процента. При непрерывном начислении процентов S рассчитывается по формуле:

(1.43)

Из полученной формулы путем преобразований получаем формулы для нахождения первоначальной суммы, срока начисления и величины учетной ставки:

(1.44)

(1.45)

(1.46)

(1.47)

(1.48)

После рассмотрения различных способов начисления процентов следует отметить, что на практике иногда возникает необходимость применения эквивалентных процентных ставок. Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условий дает одинаковые финансовые результаты.

Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уровень эквивалентности, принцип составления которого заключается в следующем. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных процентных ставок (обычно для наращения суммы S). На основе равенства двух выражений для данной величины и составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида.

Повторим формулы для определения наращенной суммы при различных способах начисления процентов, полученные ранее: наращенная сумма простых ссудных процентов (1.7), наращенная сумма простых учетных ставок (1.34), наращенная сумма сложных ссудных процентов (1.16), наращенная сумма сложной ставки ссудных процессов (1.21), сложная учетная ставка (1.37), начисление процентов m раз в год по сложной учетной ставке (1.41).

Приравнивая эти формулы попарно, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками.

Например, приравнивая соотношения (1.7) и (1.34), получим: откуда:

(1.49)

(1.50)

Из формул (1.7) и (1.16) имеем:

(1.51)

(1.52)

где i_с – сложная годовая учетная ставка.

Приравнивание формул (1.7) и (1.21) дает:

(1.53)

(1.54)

Для различных случаев сложных процентов получаем уравнение эквивалентности, приравнивая формулы (1.16) и (1.21):

(1.55)

Полученная по формуле (1.55) сложная годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Эффективную ставку сложных процентов полезно знать, чтобы оценить реальную доходность финансовой операции или сравнить процентные ставки в случае, когда используются различные интервалы начисления. Значение эффективной процентной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при m = 1.

Из формул определения сложной ставки ссудных процентов и сложной учетной ставки имеем:

(1.56)

(1.57)

Аналогичным образом получаем зависимости между любыми другими эквивалентными процентными ставками.

Учет инфляционного обесценивания денег в принятии финансовых решений. Инфляция характеризуется обесцениванием национальной валюты, т. е. снижением ее покупательной способности и общим повышением цен в стране. Во избежание ошибок и потерь в условиях снижения покупательной способности денег рассмотрим механизм влияния инфляции на результат финансовых операций.

Пусть S_α – сумма, покупательная способность которой с учетом инфляции равна покупательной способности суммы при отсутствии инфляции. Через ΔS обозначим разницу между этими суммами. Отношение ΔS/S, выраженное в процентах, называется уровнем инфляции. При расчетах используют относительную величину уровня инфляции – темп инфляции α:

Тогда для определения S_α получаем следующее выражение:

S_α = S + ΔS = S + Sα = S(1 + α). (1.58)

Величину (1 + α), показывающую, во сколько раз S_α больше S (т. е. во сколько раз в среднем выросли цены), называют индексом инфляции I_и.

I_и = 1 + α. (1.59)

Рассмотрим теперь различные случаи задания уровня инфляции. Если известен годовой уровень инфляции α, то за период в n лет (при том, что n = = n_a + n_b и n_a – целое число лет, n_b – оставшаяся нецелая часть года) индекс инфляции, очевидно, составит следующую величину:

(1.60)

В некоторых случаях может быть задан уровень инфляции α_m за короткий (меньше года) интервал. Тогда за период, составляющий m таких интервалов, индекс инфляции будет равен

I_и = (1 + α_m)^m. (1.61)

Если в обычном случае первоначальная сумма P при заданной ставке процентов превращается за определенный период в сумму S, то в условиях инфляции она должна превратиться в сумму S_α, что требует уже иной процентной ставки.

Назовем ее ставкой процентов, учитывающих инфляцию. Зададим годовой уровень инфляции α и простую годовую ставку ссудного процента i. Тогда для наращенной суммы S, превращающейся в условиях инфляции в сумму S_α, используем формулу (1.7):

S_α = P(1 + i_α),

где i_α – ставка ссудного процента, учитывающая инфляцию. Для данной суммы можно записать еще одно соотношение: S_α = P(1 + i)(1 + α), а затем составить уравнение эквивалентности: (1 + i_α) = (1 + i)(1 + α), из которого следует, что:

i_α = I + α + iα. (1.62)

Рассмотрим теперь различные случаи начисления процентов с учетом инфляции. При этом всегда удобно пользоваться значением индекса инфляции за весь рассматриваемый период. Для простых процентных ставок по формуле (1.7) получаем: S_α = P(1 + ni_α).

В то же время должно выполняться равенство

S_α = P(1 + ni)I_и.

Составим уравнение эквивалентности: 1 + ni_α = (1 + ni)I_и, из которого получаем:

(1.63)

Для простых учетных ставок аналогичное уравнение эквивалентности будет иметь вид:

(1.64)

Для случая сложных процентов используем формулу (1.1): S_α = (1 + i_cα)ⁿ; S_α = (1 + i_c)ⁿI_и. Отсюда:

(1.65)

Если начисление процентов происходит несколько (m) раз в году, используем формулу (3.6): (1 + j_α/m)^mn = (1 + j/m)^mnI_и.