Отсюда:

(1.66)

Таким же образом получаем две формулы для случая сложных учетных ставок:

(1.67)

(1.68)

Аннуитеты. В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторой организацией, выплата задолженностей, регулярные или нерегулярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой). Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, аннуитет называется постнумерандо (обыкновенный аннуитет).

Наибольший интерес с практической точки зрения представляют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (постоянные аннуитеты) либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Теория аннуитетов применяется при рассмотрении вопросов доходности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата процентов по ценным бумагам.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i_c. Наращенная сумма для первого платежа аннуитета постнумерандо, проценты на который будут начисляться (n – 1) раз, составит

где P – величина каждого отельного платежа.

Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем:

На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются, т. е. Тогда для общей наращенной (будущей) суммы всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумме всех платежей с процентами) имеем:

(1.69)

где – коэффициент наращения аннуитета с параметрами I, n – сумма членов геометрической прогрессии, для которой первый член a₁ равен 1, а знаменатель q составляет (1 + i_c).

Используя математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии

запишем формулу общей наращенной суммы в более удобном виде:

(1.70)

Для коэффициента наращения, имеем:

(1.71)

Далее найдем современную величину всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумму современных величин всех платежей). При заданной процентной ставке i_c современное значение каждого платежа будет определяться по формуле:

где a_i,n – коэффициент приведения аннуитета, который является суммой геометрической прогрессии теперь уже с параметрами

Тогда для a_i,n получаем выражение:

(1.72)

для современной величины А соответственно имеем:

(1.73)

Одним из важных практических применений теории аннуитетов является составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана погашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика – выплаты процентов и выплаты по погашению основной суммы долга – при различных условиях погашения (такие платежи носят название срочных уплат).

Основных вариантов погашения задолженности – пять.

1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в нахождении размера выплачиваемой суммы Р при заданной процентной ставке i. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета.

2. Погашение долга в один срок. Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизационного) фонда, для чего периодически вносятся определенные суммы, на которые начисляются проценты.

3. Погашение долга равными суммами. Долг погашается в течение какого-либо количества лет равными суммами, а проценты выплачиваются периодически. Таким образом, на погашение идут постоянные платежи (отношение основной суммы долга (без процентов) к сроку займа), а процентные выплаты ежегодно сокращаются, так как уменьшится основная сумма долга.

4. Погашение долга с использованием срочных постоянных уплат. Заем, выданный под сложную годовую процентную ставку, погашается в течение ряда лет равными срочными уплатами , где I – процент по займу, P – размер взноса в погасительный фонд. Со временем составляющая I будет уменьшаться, так как уменьшится основная сумма задолженности. Соответственно, сумма, идущая на погашение займа, будет увеличиваться.

5. Погашение долга с использованием срочных переменных уплат. Во многих ситуациях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уплаты могут измениться в соответствии с некоторой закономерностью или задаваться графиком погашения.