62. Риск и доходность: теория портфеля

Кратко рассмотрим основные положения в оценке рискованных ценных бумаг и формирования портфеля.    Каждая отдельная ценная бумага обладает собственной характеристикой взаимосвязи риска и доходности. В основном действует прямая зависимость - чем выше доходность, тем выше риск. Без учета дивидендных выплат, доходность можно рассчитать следующим образом:

   где P - доходность, W₀ - стоимость ценной бумаги в начале периода, W₁ - стоимость ценной бумаги в конце периода (период принимался 1 месяц).    Из формулы видно, что доходность может быть и отрицательной, если курсовая стоимость акций падает. Считая доходность в каждом периоде, можно получить ряд доходностей за больший период. Например, за один год ряд будет состоять из двенадцати значений доходности посчитанных за месяц. Если доходности рассматривать, как случайные величины, то из курса математической статистики их набор будет иметь ряд статистических характеристик. Это - арифметическое среднее, геометрическое среднее, дисперсия, среднеквадратичное отклонение и медиана.

Если взять все активы, присутствующие на рынке, и все возможные их комбинации (портфели), на плоскости "доходность – риск" получим некоторое множество, подобное тому, которое изображено на рис. 4.6. Огибающая его кривая именуется эффективной границей. Благодаря положительному влиянию диверсификации не полностью коррелированных активов, точки на эффективной границе будут соответствовать не индивидуальным активам, а портфелям (возможные исключения – актив с максимальной ожидаемой доходностью и актив с минимальным риском). В самом деле, при объединении в портфель каждой пары активов линия на плоскости "доходность – риск", соответствующая разным соотношениям весов, будет проходить левее и выше прямой, соединяющих соответствующие точки, при объединении пар таких портфелей в новый портфель – еще левее и выше, и т.д., а эффективная граница будет огибающей множества всех таких линий.

Рис.4.6. Эффективная граница как огибающая множества рискованных портфелей

Ранее часто употреблялось выражение "повышение доходности влечет повышение риска" – сейчас появилась возможность прояснить его смысл. Это действительно так, но только при движении вдоль эффективной границы. Если же портфель лежит ниже эффективной границы, то за счет дополнительной диверсификации можно повысить его доходность, не повышая риск. И уж совсем неверно обратное утверждение "повышение риска влечет рост доходности" – рынок вознаграждает вовсе не всякий риск, и всегда можно найти актив с высоким риском и низкой (а то и отрицательной) доходностью.

Каждая точка эффективной границы соответствуют эффективному портфелю. Портфель является эффективным, если никакой другой портфель не обеспечивает более высокую ожидаемую доходность при том же уровне ожидаемого риска, или более низкий риск при том же уровне доходности.

Ясно, что инвестор, выбирая из множества портфелей, выберет себе эффективный портфель. Но вот какой именно? Это зависит от склонности инвестора к риску. Склонность к риску принято характеризовать так называемой "функцией полезности" (utility function). Эта функция строится в предположении, что с ростом риска инвестор требует все большего и большего роста доходности (такое поведение инвесторов подтверждается эмпирическими наблюдениями). На плоскости "доходность-риск" функция полезности каждого инвестора отображается семейством кривых второго порядка, каждая из которых состоит из точек, равно "полезных", а "полезность" увеличивается при смещении кривых влево-вверх.

Рис.4.7. Выбор оптимального портфеля на эффективной границе при помощи функции полезности инвестора.

У эффективной границы по мере увеличения риска наклон уменьшается – происходит насыщение. В самом деле, рискованность актива может расти хоть до бесконечности – поскольку инвесторы избегают риска, такие активы всегда найдутся. А вот за высокой доходностью инвесторы охотятся, и активы с аномально высокой доходностью до рынка просто не доходят. Таким образом, реализуется положение, показанное на рис. 4.7, где приведены эффективная граница и семейства функций полезности для двух инвесторов. Кривые U олицетворяют предпочтения инвестора, несклонного к риску – они круто уходят вверх (за прирост риска инвестор требует гораздо большего прироста доходности). Кривые V относятся к инвестору, более терпимому к риску.

Кривые с индексом 1 пересекают эффективную границу в двух точках, стало быть, каждому инвестору можно сформировать два портфеля, субъективно равноценных – больший риск второго портфеля будет полностью компенсироваться большей доходностью. Однако более высокую полезность (или удовлетворенность) каждый инвестор может осуществить при некоем среднем портфеле, а именно там, где функция полезности касается эффективной границы (кривые с индексом 2) – такая точка только одна для каждого инвестора (характеризуемого своей функцией полезности). Еще большую удовлетворенность инвесторы чувствовали бы на кривых с индексом 3, но увы – они не пересекаются с эффективной границей, и портфелей с такой "полезностью" сформировать нельзя. Следовательно, оптимальным портфелем будет тот, для которого функция полезности касается эффективной границы – он одновременно является и эффективным, и наиболее "полезным" для данного инвестора.

В дополнение следует еще раз подчеркнуть, что везде в этой главе речь шла об ожидаемой доходности, ожидаемом стандартном отклонении, ожидаемом коэффициенте корреляции – тех величинах, которые прогнозируются на будущий период инвестирования. Эти параметры могут быть оценены по возможным сценариям развития, но понятно, что оценки не могут быть очень точными. Если в модели портфеля нужно использовать много таких оценок, то возникает риск того, что параметры портфеля будут рассчитаны неправильно – так называемый риск оценки.

Например, при добавлении 100-го актива к портфелю, уже содержащему 99 других активов, нужно оценить 99 коэффициентов попарной корреляции, а всего для такого портфеля нужно иметь оценки 4950 коэффициентов корреляции ( 99 + 98 + 97 + ... + 2 + 1). Интересно, что задачу такого суммирования в общем виде великий математик Гаусс решил еще будучи школьником, заметив, что суммы первого и последнего, второго и предпоследнего и т.д. членов равны между собой.

Уменьшить число оценок можно в предположении, что доходность отдельного актива зависит только от доходности рынка в целом (в дальнейшем будет показано, что такое предположение является хорошо обоснованным):

где Rm - доходность рынка, ε - случайная величина. Тогда можно показать, что коэффициент корреляции

где σm - стандартное отклонение доходности рынка.

Таким образом, в рассматриваемом случае число оценок для определения коэффициентов корреляции понижается с 4950 до 100, т.е. до числа, равного количеству активов в портфеле.

Теория эффективного портфеля, разумеется, охватывает гораздо более широкий круг вопросов, но здесь мы ограничились только тем материалом, который необходим для перехода к теории оценки активов на рынке капитала (CAPM – Capital Asset Pricing Model), основы которой были заложены в 60-х гг. У. Шарпом (William Sharpe). Эта теория, к рассмотрению которой мы перейдем в следующей главе, более широко применяется на практике.