Раздел I. Концептуальные основы управления прибылью предприятия

ИНТЕРВАЛ НАЧИСЛЕНИЯ — обусловленный конкретный временной срок (в пределах общего периода начисления), в рамках которого рассчитывается отдельная сумма процента по установленной его ставке (осуществляется отдельный платеж процента).

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТА (метод пренумерандо или антисипативный метод) — способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в начале каждого интервала.

ПОСЛЕДУЮЩИЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ ПРОЦЕНТА

(метод постнумерандо или декурсивный метод) — способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в конце каждого интервала.

ДИСКРЕТНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК - поток денежных средств по финансовой и инвестиционной деятельности, имеющий четко ограниченный период начисления процентов и конечный срок возврата основной суммы капитала.

НЕПРЕРЫВНЫЙ ДЕНЕЖНЫЙ ПОТОК — поток денежных средств по финансовой и инвестиционной деятельности, период начисления процентов по которому не ограничен, а соответственно не определен и конечный срок возврата основной суммы капитала.

АННУИТЕТ (ФИНАНСОВАЯ РЕНТА) - длительный поток платежей, характеризующийся одинаковым уровнем процентных ставок на протяжении всего периода.

Среди изложенных базовых понятий, связанных с оценкой стоимости денег во времени, наиболее сложным является понятие процентной ставки, по которой осуществляется процесс наращения и дисконтирования стоимости денежных средств. Это понятие отличается многообразием конкретных его видов, используемых в практике вычислений. Процентная ставка, используемая в процессе наращения или дисконтирования стоимости денежных средств (оценки их будущей и настоящей стоимости), классифицируется по следующим основным признакам (рис. 4.1.).

Рнсунок4.1. Классификация видов процентной ставки, используемой в процессе оценки стоимости денег во времени.

1. По использованию в процессе форм оценки стоимости денег во времени различают ставку наращения и ставку дисконтирования (дисконтную ставку).

Ставка наращения представляет собой процентную ставку, по которой осуществляется процесс наращения

стоимости денежных средств (компаундинг), т.е. определяется их будущая стоимость.

Ставка дисконтирования (дисконтная ставка) представляет собой процентную ставку, по которой осуществляется процесс дисконтирования стоимости денежных средств, т.е. определяется их настоящая стоимость.

2. По стабильности уровня используемой процентнойставки в рамках периода начисления выделяют фиксированную и плавающую процентные ставки.

Фиксированная ставка характеризуется неизменным ее уровнем на протяжении всех интервалов общего периода начисления.

Плавающая (или переменная) процентная ставка характеризуется регулярно пересматриваемым ее уровнем по соглашению сторон в разрезе отдельных интервалов общего периода начислений. Такой пересмотр обусловливается изменением средней нормы процента на финансовом рынке (или в отдельных его сегментах), изменением темпа инфляции и другими условиями.

3. По обеспечению начисления определенной годовойсуммы процента различают периодическую и эффективную процентные ставки.

Периодическая ставка процента при обеспечении определенной годовой суммы процента может варьировать как по уровню, так и по продолжительности отдельных интервалов на протяжении годового периода платежей.

Эффективная ставка процента (или ставка сравнения) характеризует среднегодовой ее уровень, определяемый отношением годовой суммы процента, начисленного по периодическим его ставкам, к основной сумме капитала.

4. По условиям формирования различают базовую идоговорную процентные ставки.

Базовая процентная ставка характеризуется определенным исходным ее уровнем в качестве первоначальной основы последующей ее конкретизации кредитором (заемщиком) в зависимости от условий осуществления соответствующей хозяйственной операции.

Договорная процентная ставка характеризует конкретизированный ее уровень, согласованный кредитором

и заемщиком и отраженный в соответствующем инвестиционном договоре.

Система основных базовых понятий позволяет последовательно рассмотреть методический инструментарий оценки стоимости денег во времени в разрезе наиболее характерных вариантов осуществления такой оценки. Этот методический инструментарий дифференцируется в разрезе следующих видов вычислений (рис. 4.2.).

I. Методический инструментарий оценки стоимости денег по простым процентам использует наиболее упрощенную систему расчетных алгоритмов.

1. При расчете суммы простого процента в процессе наращения стоимости (компаундинга) используется следующая формула:

/ = р х п х / ,

где /— сумма процента за обусловленный период времени в целом; Р — первоначальная сумма (стоимость) денежных

средств; п — количество интервалов, по которым осуществляется расчет процентных платежей, в общем обусловленном периоде времени; / — используемая процентная ставка, выраженная

десятичной дробью. В этом случае будущая стоимость вклада (S) с учетом начисленной суммы процента определяется по формуле:

S = Р + I = Р х (1 + т) .

Пример: Необходимо определить сумму простого процента за год при следующих условиях: первоначальная сумма вклада — 1000 усл. ден. ед.; процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально - 20%.

Подставляя эти значения в формулу, получим сумму процента:

I = 1000 х 4 х 0,2 = 800 усл. ден. ед.;

будущая стоимость вклада в этом случае составит:

S = 1000 + 800 = 1800 усл. ден. ед.

Множитель (1 + и/) называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно быть больше единицы.

Рисунок 4.2. Систематизация основных методических подходов к оценке стоимости денег во времени.

Процесс наращения суммы вклада во времени по простым процентам может быть представлен графически (рис. 4.3.).

Рисунок 4.3. График наращения суммы денежных средств по простым процентам (при процентной ставке 20%).

2. При расчете суммы простого процента в процессе дисконтирования стоимости (т.е. суммы дисконта) используется следующая формула:

где D — сумма дисконта (рассчитанная по простым процентам) за обусловленный период времени в целом;

S — стоимость денежных средств;

и —количество интервалов, по которым осуществляется расчет процентных платежей, в общем обусловленном периоде времени;

/ — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.

В этом случае настоящая стоимость денежных средств (Р) с учетом рассчитанной суммы дисконта определяется по следующим формулам:

Пример: Необходимо определить сумму дисконта по простому проценту за год при следующих условиях: конечная сумма вклада определена в размере 1000 усл. ден. ед.; дисконтная ставка составляет 20% в квартал.

Подставляя эти значения в формулу расчета суммы дисконта, получим:

усл. ден. ед.

Соответственно настоящая стоимость вклада, необходимого для получения через год 1000 усл. ден. единиц, должна составить:

Р = 1000 - 444 = 556 усл. ден. ед.

-• Используемый в обеих случаях множитель называется дисконтным множителем (коэффициентом; суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.

Процесс дисконтирования суммы денежных средств может быть представлен графически (рис. 4.4).

Рисунок 4.4. График дисконтирования суммы денежных средств по простым процентам (при дисконтной ставке 20%).

П. Методический инструментарий оценки стоимости денег во сложным процентам использует более обширную и более усложненную систему расчетных алгоритмов.

1. При расчете будущей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения по сложным процентам используется следующая формула:

где S_c — будущая стоимость вклада (денежных средств) при его наращении по сложным процентам;

Р — первоначальная сумма вклада;

i — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;

n —количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма процента (1_С) в этом случае определяется по формуле:

Пример: Необходимо определить будущую стоимость вклада и сумму сложного процента за весь период инвестирования при следующих условиях: первоначальная стоимость вклада — 1000 усл. ден. ед.; процентная ставка, используемая при расчете суммы сложного процента, установлена в размере 20% в квартал; общий период инвестирования — один год.

Подставляя эти показатели в вышеприведенные формулы, получим:

Будущая стоимость вклада =

= 1000 х (1 + 0,2)⁴ = 2074 усл. ден. ед.

- Сумма процента =

= 2074 - 1000 = 1074 усл. ден. ед.

Графически процесс наращения стоимости вклада по сложным процентам представлен на рис. 4.5.

Рисунок 4.5. График наращения суммы денежных средств по сложным процентам (при процентной ставке 20%).

2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по сложным процентам используется следующая формула:

где Р_с—первоначальная сумма вклада;

S — будущая стоимость вклада при его наращении;

/ — используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;

л—количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Соответственно сумма дисконта (D_c) в этом случае определяется по формуле:

Пример: необходимо определить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта по сложным процентам за год при следующих условиях: будущая стоимость денежных средств определена в размере 1000 усл. ден. ед.;

используемая для дисконтирования ставка сложного процента составляет 20% в квартал.

Подставляя эти значения в формулы, получим: Настоящая стоимость —

усл. ден. ед.

Сумма дисконта=

= 1000 - 482 = 518 усл. ден. ед.

Графически процесс дисконтирования денежных средств по сложным процентам представлен на рисунке 4.6.

Рисунок 4.6. График дисконтирования суммы денежных средств по сложным процентам (при дисконтной ставке 20%).

3. При определении средней процентной ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам,применяется следующая формула:

где /— средняя процентная ставка, используемая в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью; S_c — будущая стоимость денежных средств; Рс — настоящая стоимость денежных средств; и — количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: необходимо определить годовую ставку доходности облигации при следующих условиях: номинал облигации, подлежащий погашению через три года, составляет 1000 усл. ден. ед.; цена, по которой облигация реализуется в момент ее эмиссии, составляет 600 усл. ден. ед.

Подставляя эти значения в формулу, получим: годовая ставка доходности =

4. Длительность общего периода платежей, выраженная количеством его интервалов, в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам определяется путем логарифмированияпо следующей формуле:

где S_c — будущая стоимость денежных средств; Рс — настоящая стоимость денежных средств; /— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.

5. Определение эффективной процентной ставки в процессе наращения стоимости денежных средств по сложным процентам осуществляется по формуле:

где |_э — эффективная среднегодовая процентная ставка при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;

i — периодическая процентная ставка, используемая при наращении стоимости денежных , средств по сложным процентам, выраженная

₀ десятичной дробью;

яи— количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж по периодической процентной ставке на протяжении года.

Пример: необходимо определить эффективную среднегодовую процентную ставку при следующих условиях:

денежная сумма 1000 усл. ден. ед. помещена в коммерческий банк на депозит сроком на 2 года; i годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осуществляется начисление процента, со ставляет 10% (0,1).

Подставляя эти значения в формулу, получим:

Результаты расчетов показывают, что условия помещения денежной суммы сроком на 2 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов, равнозначны условиям начисления этих процентов один раз в год под 10,38% годовых (10,38% составляет размер эффективной или сравнимой процентной ставки).

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода. Иногда оказывается более выгодным инвестировать деньги под меньшую ставку процента, но с большим числом интервалов в течение предусмотренного периода платежа.

Пример: Перед инвестором стоит задача разместить 100 усл. ден. ед. на депозитный вклад сроком

на один год. Один банк предлагает инвестору выплачивать доход по сложным процентам в размере 23% в квартал; второй — в размере 30% один раз в четыре месяца; третий — в размере 45% два раза в году; четвертый — в размере 100% один раз в году.

Для того, чтобы определить, какой вариант инвестирования лучше, построим следующую таблицу:

Таблица 4.1. Расчет будущем стоимости вклада при различных условиях инвестирования (усл. ден. ед.)

Сравнение вариантов показывает, что наиболее эффективным является 1-й вариант (выплата дохода в размере 23% один раз в квартал).

Используемые в процессе оценки стоимости денег множители (1 + i)ⁿ иназываются соответствен-

но множителем наращения и множителем дисконтирования суммы сложных процентов. Они положены в основу специальных таблиц инвестиционных вычислений, с помощью которых при заданных размерах ставки процента и количества платежных интервалов можно легко вычислить настоящую или будущую стоимость денежных средств по сложным процентам (см. приложения 1 и 2).

III. Методический инструментарий оценки стоимости денег при аннуитете связан с использованием наиболее сложных алгоритмов и определением метода начисления процента — предварительным (пренумерандо) или последующим (постнумерандо).

1. При расчете будущей стоимости аннуитета наусловиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула:

где SA_pre — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо); Л —член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа; / — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью; и —количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условияхпредварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных:* период платежей по аннуитету предусмотрен в ко-

личестве 5 лет;

интервал платежей по аннуитету составляет один год (платежи вносятся в начале года); сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 усл. ден. ед.; используемая для наращения стоимости процентная ставка составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим:

будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), рав-

, на: 1000х^{(1 + 01}) ~¹ х (1 + 0,1)= 6716усл. ден. единиц.

2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнуме-рандо), применяется следующая формула:

где SAp_0st — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо); R— член аннуитета, характеризующий размер

отдельного платежа; i — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью; п — количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыдущем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим:

будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо),

равна:усл. ден. единиц.

Сопоставлениерезультатов расчета по двум примерам показывает, что будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае плательщику обеспечена гораздо большая сумма дохода.

3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), используется следующая формула:

где РА_рге — настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо); R — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;

147

/ — используемая процентная (дисконтная) ставка,

выраженная десятичной дробью; « — количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени. Пример: Необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных:

период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет;

интервал платежей по аннуитету составляет один год (при внесении платежей в начале года); сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 усл. ден. ед.; используемая для дисконтирования стоимости ставка процента (дисконтная ставка) составляет 10% в год (0,1).

Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим:

настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), равна:усл. ден. единиц.

4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (пост-нумерандо), применяется следующая формула:

где PA_post — настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо); R — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа; / — используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью; и —количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.

Пример: Необходимо рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), по данным, изложенным в предыдущем примере (при условии взноса платежей в конце года).

Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим:

настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо),

равна:усл. ден. единиц.

Сопоставление результатов расчета по двум последним примерам показывает, что настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае в процессе дисконтирования инвестору гарантирована гораздо большая сумма дохода в настоящей стоимости.

5. При расчете размера отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета используется следующая формула:

где R — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной будущей его стоимости); SAp_0St — будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей); i — используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью; я — количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.

6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:

где R — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при известной текущей его стоимости); PApost— настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей); /— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью; и— количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени. В процессе расчета аннуитета возможно использование упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффициент) его наращения или дисконтирования.

В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей),имеет вид:

где SA_post — будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей); R — член аннуитета, характеризующий размер

отдельного платежа; 1а — множитель наращения стоимости аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной ставки и количества интервалов в периоде платежей.

Соответственно, формула для определения настоящей стоимости аннуитета имеет вид:

где PAp_0St — настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей); R — член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа; Da —дисконтный множитель аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной (дисконтной) ставки и количества интервалов в периоде платежей.

В приложениях 3 и 4 приведены множители наращения стоимости аннуитета и его дисконтные множители.

Использование стандартных множителей (коэффициентов) наращения и дисконтирования стоимости (приложения 1-4) существенно ускоряет и облегчает процесс оценки стоимости денег во времени.