Оценка типичности средней арифметической.

Чем вариационный ряд более компактен, менее рассеян, тем лучше средняя арифметическая характеризует данную совокупность.

Если вариационный ряд растянут, отдельные значения вариант сильно от­клоняются от средней (т.е. имеется большая вариабельность, колеблемость при­знака), то средняя хуже характеризует ряд в целом и является менее типичной для данной совокупности

Таким образом, кроме средней необходима еще одна характеристика ряда: его колеблемость.

Простейшей мерой колеблемости ряда является амплитуда (вариационный размах), т.е. резкость крайних вариант.

Например, при подсчете частоты пульса у одной группы обследованных средняя составляла 68, минимальное число было 60, а максимальное - 70. У второй группы средняя частота пульса составляла так­же 68, но наименьшее число было 55, а наибольшее - 80. Амплитуда в первой группе значительно меньше и, следовательно, все значения группируются вокруг средней. Вторая совокупность более разнообразна, ее рассеянность велика и колебания отдельных значений от средней больше; следовательно, средняя в этой группе менее типична, чем в первой группе.

Мерой колеблемости, изменчивости признака и мерой типичности средней арифметической является среднее квадратическое отклонение (сиг­ма - σ), которое определяется по формуле (по способу моментов):

Чем больше среднее квадратическое отклонение, тем выше колеблемость данного вариационного ряда.

Для оценки типичности средней арифметической с помощью среднего квадратического отклонения в статистике применяется так называемое «правило трех сигм». Это правило основано на законе нормального распределения и отражает теоретическую закономерность распределения вероятностей случайных событий в условиях бесконечно большого количества наблюдений.

Согласно теории вероятности, в явлениях, подчиняющихся закону нормально­го распределения, между значениями средней арифметической (М), средним квадратическим отклонеиием (σ) и отдельными значениями вариант существует строгая зависимость: в интервале M + 1σ находится 68.3% всех вариант ряда, в интервале M + 2σ – 95.5%, а в интервале M + 3σ – 99,7%, т.е. практически весь вариационный ряд укладывается в этот предел.

Таким образом, среднее квадратическое отклонение является стандартным отклонением, позволяющим предвидеть вероятность появления такого значения изучаемого признака, которое находится в пределах заданных границ.

M + 1σ → 68.3%,

M + 2σ → 95.5%,

M + 3σ → 99,7%.

Для того, чтобы проверить, насколько средняя арифметическая типична для той совокупности, из которой она вычислена, нужно к ней прибавить и отнять утроенную сигму (M + 3σ). Если в полученный интервал данный вариационный ряд укладывается, то средняя типична; если не укладывается – средняя нетипична, совокупность неоднородна и число наблюдений недостаточно.

Графическим изображением "правила трех сигм" является кривая нормального распределения (биноминальная кривая Ньютона, кривая Гаусса).

Форма этой кривой отражает степень вариабельности результатов наблюде­ний: при большой разбросанности данных она будет пологой, при малой разбрoсанности – крутой. В силу симметричности кривом перпендикуляр, опушенный из ее максимума на ось абсцисс, пересекает ее в точке, соответствующей среднему значению данных, отложенных по этой оси (М, Мо, Ме).

Практическое значение среднего квадратического отклонения:

- Сигма характеризует однородность вариационного ряда;

- Зная среднюю величину и сигму, можно определить крайние значения вари­ант и, при необходимости, построит вариационный ряд.

Например: среднее артериальное давление у мужчин 30-39 лет было 120 мм рт. ст. при σ = 10 мм. Тогда:

V_min = M – 3σ = 120 – 30 = 90 мм;

V_max = M + 3σ = 120 + 30 = 150 мм.