2012-ОТВЕТЫ-ГЭК

121. Особенности ценообразования на рынке опционов.

Цена опциона зависит от многих факторов, связанных как с характеристиками самого опциона, так и базового актива, динамики их цен. При этом различают «внутреннюю» и «внешнюю» стоимость опциона.

«Внутренняя» стоимость опциона определяется соотношением страйка (цены исполнения) и спота (текущей цены базового актива). Ясно, что изменение этого соотношения влияет в обратном направлении на цену опциона колл (ОК) и опциона пут (ОП). Так, если разница страйковой и спотовой цен положительна и возрастает, цена опциона пут также растет. В том случае, если опциона находится «около денег», или «вне денег», его внутренняя стоимость близка к нулю, или отрицательна. Тем не менее, рыночная цена опциона всегда составляет величину, большую нуля. Даже если страйк опциона-колл равен 100, а текущая спотовая цена базового актива составляет 95, цена данного опциона неотрицательна.

Внешняя цена опциона отражает факторы временного порядка. Она зависит от конкретных характеристик рынка и представляет собой, своеобразную, плату за снижение степени неопределенности. Количественно ее определить весьма непросто. Однако удивительно не то, что это сделать трудно, а то, что это оказалось возможно, благодаря применению современного математического аппарата. Причем существует несколько моделей ценообразования на опционы. Остановимся на одной из них, представленной формулой Блэка-Шоулза.

Цена опциона-колл. Внутренняя стоимость колла определяется разницей между спотовой и страйковой ценой базового актива. Например, если первая составляет 150, а вторая 100, ясно, что она составит не менее 50.

Внешняя цена опциона-колл отражает следующие факторы:

-волатильность, т.е. изменчивость цен на базисный актив (БА). Чем более значительно и непредсказуемо они изменяются, тем дороже будет стоить опцион. Это и понятно.

-длительность опциона, или время, оставшееся для его исполнения. Каким бы волатильным не был рынок, если срок истечения опциона истекает «завтра», его цена будет очень близка к внутренней стоимости, если «послезавтра», то не так близка, и т.д. Чем больше срок, оставшийся до исполнения опциона, тем выше вероятность значительного изменения цен на БА. Поэтому опцион, при прочих равных условиях, будет дороже.

-норма процента, связана прямой зависимостью с ценой опциона-колл.

Формула Блэка-Шоулза

С= SN(d₁) – Ee ^–^rTN(d₂)

или

С= SN(d₁) – Er ^–^TN(d₂)

при этом

d₁= (ln(S/E)+ (r+ ²/2)T)/ T^(1/2),

d₂= d₁-T^(1/2)

где:

С- цена опциона-колл;

S- спот;

Е- страйк;

е- число е;

r- норма процента (в индексном виде, т.е. если процент составляет 5% годовых, r= 1,05);

Т- срок до истечения опциона;

- стандартное отклонение доходности базового актива в десятичном виде (мера волатильности);

N(d)- кумулятивное стандартное нормальное распределение;

d₁и d₂- аргументы функции кумулятивного нормального распределения.

Формула БШ это, по существу, внутренняя стоимость опциона (S-E), взвешенная на аргументы N(d₁) и e ^–^rTN(d₂).

Множитель e^–^rT это коэффициент непрерывного дисконтирования, который в более простом виде может быть представлен, как 1/r^T, т.е. в том случае если норма процента равна нулю, он составит единицу.

Что касается множителей SN(d₁) и SN(d₂), то их значение изменяется от нуля до единицы. По своему экономическому смыслу они отражают вероятность значительного изменения цен на БА до в течение срока истечения опциона. Чем больше данная вероятность, тем ближе значение коэффициентов к нулю. Но и наоборот. В том случае, если рынок абсолютно предсказуем (т.е. неволатилен, =0) и (или) срок опциона истекает, данные множители равны единице. То есть при нулевой процентной ставке и отсутствии неопределенности рынка формула Блэка-Шоулза обращается в разницу между спотом и страйком. А это и есть «внутренняя» цена опциона.

Таким образом формула БШ дает значение цены опциона, несколько превышающее величину его «внутренней» стоимости, причем эта разница растет по мере увеличения волатильности рынка и срока до истечения опциона. Важно то, что теоретические значения цены опциона, рассчитанные по формуле БШ, нашли очень хорошие эмпирические подтверждения. Более того, часто они используются трейдерами в качестве своеобразного ориентира при принятии решений о покупке или продаже опционов.

Цена опциона-пут. Формула БШ дает теоретическое значение цены опциона-колл. Для оценки стоимости опциона-пут рассмотрим следующий портфель, состоящий из следующих активов:

-базисный актив, стоимость которого составляет 100 (т.е. S= 100);

-длинный пут со страком 100 (т.е. Е=100);

- короткий колл, страйк также 100.

Стоимость данного портфеля, независимо от изменения спота, всегда будет составлять 100 (для того, чтобы убедится в этом постройте позиционную кривую). В экономическом смысле это означает следующее. Если цена базового актива снизится до нуля, владелец портфеля исполнит пут. Если она возрастет, допустим, до 200, то он будет вынужден исполнить колл со страйком 100. Таким образом, сумма начальной стоимости базового актива минус премия по коллу плюс премия по путу равна 100, или, если учесть фактор времени:

S-C+P= Eer^-T^²,

или

S-С+Р= Er ^–T^³,

где

Р- стоимость пута (остальные обозначения те же).

Или (после перестановки слагаемых): Р= (Er ^–^T-S)+C

В содержательном плане из формулы следует, что равновесная цена опциона-пут равна разнице между дисконтированной ценой исполнения и страйком, плюс стоимость опциона колл. Причем, если норма процента равна нулю, r составляет единицу.

Содержание