14.3. Премія опціону

Для визначення премії опціону використовують модель Блека-Шоулза. Спочатку вона була розроблена тільки для європейських опціонів колл на акції, за якими не виплачуються дивіденди до дати закінчення опціону. Потім було показано, що ця модель справедлива і для американського опціону колл без виплати дивідендів.

Другий недолік початкової моделі — застосовність її тільки до акцій без дивідендів — був усунений внесенням у формулу додаткового множника. Потім вона була поширена на підрахунки премій опціонів на інші активи.

Формула Блека—Шоулза для опціонів колл на акції без дивідендів. Вартість опціону колл Р_с визначається за формулою

Де

P_s — поточна ринкова ціна базового активу;

Е — ціна виконання опціону;

R — річна ставка нарахування відсотка на активи без ризику, який нараховується безперервно;

Т — час до закінчення опціону в частках року (або Т = t/360, Де t— число днів, що залишились до виконання опціону);

a — ризик базового активу (стандартне відхилення дохідності базового активу за рік);

275

N(x) — функція кумулятивного нормального розподілу з се­реднім 0 і стандартним відхиленням 1 (табульована в статистиці функція).

Зауважимо, що під час безперервного нарахування відсотка

використовується формула майбутньої вартості F - Р • е , де F — майбутня вартість, Р — поточна вартість. Тому між ставкою не­перервного нарахування R і ставкою простого відсотка r існує та­кий зв'язок: R*T = 1п(1 + rT). Цей зв'язок дає можливість спрос­тити формули Блека—Шоулза.

Наведена формула показує характер залежності ціни опціону колл від п'яти чинників:

• чим вища ціна базового активу, тим вища вартість опціону;

• чим вища ціна виконання, тим нижча ціна опціону;

—чим більше часу до дати закінчення, тим вища ціна опціону;

• чим вища ставка без ризику, тим більша ціна опціону;

• чим більший ризик (волятильність) базового активу, тим вища ціна опціону.

Формула паритету опціонів колл і пут. Існує формула пари­тету цін, що дає змогу за підрахованою ціною опціону колл ви­значити ціну опціону пут

-RT

Р_р=Р_с-Р_s+Ее

де Р_р — ціна опціону пут.

Модифікація формули для акцій з дивідендами. Якщо ві­дома оголошена ставка дивіденду, що виплачується до дати за­кінчення опціону, то його можна розглядати як процент, що без­перервно нараховується. У цьому разі модифікована формула для премії опціону колл на акції з дивідендами має такий вигляд:

де Q — ставка процента, що нараховується безперервно та від­повідає ставці дивіденду на акцію.

Формула паритету опціонів модифікується таким чином:

Застосування формули для інших активів. Премія на облі­гації опціонів колл розраховується за однією з наведених формул залежно від того, є в цей період купонні виплати, чи ні. У цьому разі Q — ставка процента, що нараховується безперервно та від­повідає ставці купонного доходу.

Фондовий індекс розглядають як акцію з відомою ставкою ди­віденду. Дивідендом на індекс вважають середньозважену за ка­піталізацією ставку оголошених дивідендів акцій компаній, що включені до індексу. Q — відповідна ставка, що безперервно на­раховується.

Іноземну валюту розглядають як акцію з відомою ставкою ди­віденду (за таку ставку беруть ставку дохідності без ризику у відповідній валюті).

Зауважимо, що формули Блека—Шоулза непридатні для роз­рахунків на звичайному калькуляторі. Для цієї мети використо­вують спеціальні програми — опціонні калькулятори.