Интер­вальные.

Из различного характера интервальных и моментных рядов ди­намики вытекают некоторые особенности уровней соответствую­щих рядов.

Уровни интервального ряда динамики абсолютных величин ха­рактеризуют собой суммарный итог какого-либо явления за опре­деленный отрезок времени. Они зависят от продолжительности этого периода времени, и поэтому их можно суммировать как не содержащие повторного счета.

Отдельные же уровни моментного ряда динамики абсолютных величин содержат элементы повторного счета

3. В зависимости от расстояния между уровнями ряды ди­намики подразделяются на ряды динамики:

   1. с равноотстоящими уровнями – ряды динамики следующих друг за другом периодов или следующих че­рез определенные промежутки дат

   2. неравноотстоящими уровнями во времени – если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами.

4. В зависимости от наличия основной тенденции изучае­мого процесса ряды динамики подразделяются на:

   1. стационар­ные – если математическое ожидание значения признака и диспер­сия (основные характеристики случайного процесса) постоянны, не зависят от времени и ряды динамики также называются стационарными

   2. нестационарные. Экономические про­цессы во времени обычно не являются стационарными, так как содержат основную тенденцию развития, но их можно преобразо­вать в стационарные путем исключения тенденций.

Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики

Важнейшим условием правильного построения ряда динамики является сопоставимость всех входящих в него уровней. Данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.

Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменения единиц измерения или единиц счета. Нельзя срав­нивать и анализировать цифры о производстве тканей, если за одни годы оно дано в погонных метрах, а за другие – в квадрат­ных метрах.

На сопоставимость уровней ряда динамики вли­яет методология учета или расчета показателей. Например, если в одни годы среднюю урожайность считали с засеянной площади, а в другие – с убранной, то такие уровни будут несопоставимы.

Научный подход к изучению рядов динамики заключается в том, чтобы ряды, охватывающие большие периоды времени, расчленять на такие, которые бы объединяли лишь однокачественные периоды разви­тия совокупности, характеризующейся одной закономерностью развития.

Процесс выделения однородных этапов развития рядов ди­намики носит название периодизации динамики.

Условием сравнимости уровней интервального ряда является наличие равных интервалов, по которым даны уровни.

Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вслед­ствие изменений территориальных границ областей, районов и т.д.

Следовательно, прежде чем анализировать динамический ряд, надо, исходя из цели исследования, убедиться в сопоставимости уровней ряда и при отсутствии последней добиваться ее, пользу­ясь дополнительными расчетами.

Для того чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимо­му виду, иногда приходится прибегать к приему, который называ­ется "смыкание рядов динамики". Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких ря­дов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или разным территориальным границам. Для осуществления смы­кания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в раз­ных границах).

Показатели изменения уровней ряда динамики

К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп рос­та и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным, а уровень, с которым производят сравнение, – базисным.

Абсолютный прирост (∆y) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста:

(1)

где i = 1, 2, 3, …, k.

Если k = 1, то уровень уi-1 является предыдущим для данного ряда, а абсолютные приросты изменения уровня будут цепными. Если же k постоянно для данного ряда, то абсолютные приросты будут базисными.

Коэффициент роста и темп роста пред­ставляют собой две формы выражения интенсивности измене­ния уровня. Разница между ними заключается только в единице изме­рения.

Коэффициент роста показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы). В качестве базисного уровня в зависимости от цели исследования может приниматься какой-то постоянный для всех уровень (часто начальный уровень ряда) либо для каждого последующего предшествующий ему:

(2)

В первом случае говорят о базисных темпах роста, во втором – о цепных темпах роста.

Показатель темпа прироста, характеризующий относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Темп прироста показывает, на какую долю (или процент) уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня.

Темп прироста есть отношение абсолютного прироста к уров­ню ряда, принятого за базу:

(3)

Если темп роста всегда положительное число, то темп прирос­та может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

СРЕДНИЕ ПОКАЗАТЕЛИ РЯДОВ ДИНАМИКИ

Средний уровень ряда динамики ( ) рассчитывается по сред­ней хронологической – называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени.

Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики различны.

Для интервальных равноотстоящих ря­дов средний уровень находится по формуле средней арифмети­ческой простой, а для неравноотстоящих рядов – по средней ариф­метической взвешенной:

(4)

, (5)

где yi – уровень ряда динамики;

n – число уровней;

ti – длительность интервала времени между уровнями.

Средний уровень моментного равноотстоящего ряда дина­мики находится по формуле средней хронологической:

или

(6)

Средний уровень моментных рядов динамики с неравноотстоящими уровнями определяется по формуле средней хронологичес­кой взвешенной:

, (7)

где yi, yn – уровни рядов динамики;

ti – длительность интервала времени между уровнями.

Средний темп роста, показы­вающий, во сколько раз в среднем за единицу времени изменил­ся уровень динамического ряда.

Обычно средний темп роста вычисляется по фор­муле средней геометрической из цепных коэффициентов роста:

(8)

При расчете средних темпов роста по периодам различной продолжительности (разноотстоящие ряды динамики) пользуются средними геометрическими взвешенными по продолжительности периодов. Формула средней геометрической будет иметь вид: (9)

где t – интервал времени, в течение которого сохраняется данный темп роста;

t – сумма отрезков времени периода.

Для вычисления среднего темпа прироста необходимо вначале найти средний темп роста, а затем уменьшить его на единицу, или на 100 %:

(10)

Для проведения глубокого анализа динамики социально-экономических явлений следует параллельно использовать показатели скорости и интенсивности изменения уровней. Анализ, основанный на использовании какого-либо одного из этих показателей, неизбежно будет иметь односторонний характер.

КОМПОНЕНТЫ РЯДА ДИНАМИКИ

Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эво­люционного и осциллятивного характера, а также находиться под влиянием факторов разного воздействия.

Влияния эволюционного характера – это изменения, определя­ющие некое общее направление развития, как бы многолетнюю эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие система­тические и случайные колебания.

Влияния осциллятивного характера – это циклические (конъюн­ктурные) и сезонные колебания. Циклические (или периодичес­кие) состоят в том, что значение изучаемого признака в течение какого-то времени возрастает, достигает определенного максимума, затем понижается, достигает определенного минимума, вновь воз­растает до прежнего значения и т.д. Сезонные колебания – это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определен­ное время каждого года, дни месяца или часы дня.

Нерегулярные колебания, которые для социально-экономических явлений можно разделить на две груп­пы: а) спорадически наступающие изменения, вызванные, напри­мер, войной или экологической катастрофой: б) случайные коле­бания, являющиеся результатом действия большого количества от­носительно слабых второстепенных факторов.

4 основных компонента ряда динамики: основную тенденцию (тренд) (Т), цик­лическую или конъюнктурную (К), сезонную (S), случайные коле­бания (Е). Если ряд динамики разбить на различные компоненты, то он представляется в следующем виде:

у = f (Т, К, S, Е).

В зависимости от взаимосвязи их между собой может быть по­строена аддитивная: y = T + K + S + E или мультипликативная модель ряда ди­намики: y = T  K  S  E.

Пос­ле того как выяснен характер кривой развития, необходимо опре­делить ее параметры. Элементарный метод определения парамет­ров уравнения тренда, описанного полиномом или экспонентой, состоит в решении системы уравнений по известным уровням ряда динамики.

Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетвори­тельных результатов, так как в рядах динамики содержатся замет­ные периодические колебания вокруг общей тенденции или наблю­дается автокорреляция не в самих уровнях, а в их отклонениях от полученных по определенным аналитическим формулам теорети­ческих значений.

В таких случаях следует использовать гармони­ческий анализ.

Целью данного анализа являются выявление и измерение пе­риодических колебаний в рядах динамики и автокорреляции в ос­татках ряда.

Другими словами, гармонический анализ представляет собой операцию по выражению заданной периодической функции в виде ряда Фурье по гармоникам разных порядков. Каждый член ряда представляет собой слагаемое постоянной величины с функция­ми косинусов и синусов определенного периода.

В простейшем случае динамика явлений, обладающих периодичностью, может быть аппроксимирована синусоидой:

t – время;

А – полуамплитуда колебания, т.е. наибольшее и наименьшее отклонения от оси t;

t=/ – период (длина волны) колебательного движения;

 – начальная фаза колебания.

При t = 0 получаем .

Аппроксимация динамики экономических явлений рядом Фурье состоит в выборе таких гармонических колебаний, наложение кото­рых друг на друга (сумма) отражало бы периодические колебания фактических уровней динамического ряда. С помощью ряда Фурье можно представить динамику явлений в виде некоторой функции времени, в которой слагаемые расположены по убыванию периодов:

(11)

В этом уравнении величина k определяет гармонику ряда Фу­рье и может быть взята целым числом (чаще всего от 1 до 4). Параметры уравнения рассчитываются методом наименьших квад­ратов.

Найдя частные производные этой функции и приравняв их к нулю, получим систему нормальных уравнений, из которой вычис­лим параметры:

Последовательные значения t обычно определяются от 0 с уве­личением (приростом), равным 2π/n, где n – число уровней ряда динамики.

Для изучения периодического явления – сезон­ности – берется n = 12, по числу месяцев в году. Тогда ряд динамики годового производства можно записать так:

y₀; y₁; y₂; y₃; y⁴; y₅; y₆; y₇; y₈; y₉; y₁₀; y₁₁.

Для определенных в каждом конкретном случае t находят зна­чения синусов и косинусов разных гармоник, которые для удобства располагают в таблице.

Полагая гармоники k соответственно равными 1,2,3 и т.д., находим все значения cos kt и sin kt. Тогда, например, первая гар­моника ряда Фурье примет вид:

Ряд Фурье с двумя гармониками:

Исчисление параметров ряда Фурье может производиться и дру­гими способами.

Методы выявления периодической компоненты. модели Сезонных колебаний

В ста­тистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят назва­ние "сезонные колебания", или "сезонные волны", а динамический ряд в этом случае называют тренд-сезонным, или просто сезон­ным рядом динамики.

Сезонные колебания характеризуются специальными показате­лями, которые называются индексами сезонности (Is). Совокуп­ность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами се­зонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Данные за несколь­ко лет (не менее трех) используются для того, чтобы выявить ус­тойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случай­ные условия одного года.

Для вычисления индексов сезонности применяются различные методы. В табл. 6 дается классификация наиболее распространен­ных методов измерения сезонных волн.

Классификация методов измерения сезонных волн

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предваритель­ного выравнивания.

Если же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то, прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена об­щая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений индексов сезонности следующий:

• по соответствующему полиному вычисляются для каждого ме­сяца (квартала) выровненные уровни на момент времени (t) (гр. 2);

• определяются отношения фактических месячных (кварталь­ных) данных (у) к соответствующим выровненным данным (у) в процентах (гр. 3);

• находятся средние арифметические из процентных соотноше­ний, рассчитанных по одноименным периодам в процентах (гр. 4):

где n – число одноименных периодов.

В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так:

(15)

Циклическая компонента представляет собой волнообразные движения, но она более продолжительна и менее предсказуема, чем сезонные колебания. Сущность классического метода устранения циклической компоненты ряда динамики заключается в исключении (или в усреднении) основной тенденции и сезонной компоненты из ряда динамики, так как при этом остается цикли­ческая и, как правило, нерегулярная компонента.

ЭЛЕМЕНТЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится и в прогнозируемом буду­щем, т.е. прогноз основан на экстраполяции.

Применение экстраполяции в прогнозировании базируется на следующих предпосылках:

• развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;

• общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.

Экстраполяцию следует рассматривать как начальную стадию построения окончательных прогнозов.

Экстраполяцию в общем виде можно представить формулой:

Наиболее распространенным методом прогнозирова­ния считают аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t).

При таком подходе к прогнозированию предполагается, что раз­мер уровня, характеризующего явление, формируется под воздей­ствием множества факторов, причем не представляется возмож­ным выделить отдельно их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с тече­нием времени, т.е. У = f(t).

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза. Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность. Возник­новение таких отклонений объясняется следующими причинами.

1. Выбранная для прогнозирования кривая не является един­ственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты.

2. Производство прогноза осуществляется на основании огра­ниченного числа исходных данных. Кроме того, каждый исходный уровень обладает еще случайной компонентой. Поэтому и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, будет содержать слу­чайную компоненту.

3. Тенденция характеризует лишь движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения от него отклоня­ются. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они бу­дут наблюдаться и в будущем.

Любой статистический прогноз носит приближенный характер. Поэтому целесообразно определение доверительных интервалов прогноза.

Величина доверительного интервала определяется следующим образом:

– средняя квадратичная ошибка тренда;

– расчетное значение уровня;

– доверительная величина.

Как и экстраполяция, интерполяция может производиться на ос­нове среднего абсолютного прироста, среднего темпа роста и с по­мощью аналитического выравнивания. Она также основана на том или ином предположении о тенденции изменения уровней, но ха­рактер этого прогноза несколько иной: здесь уже не приходится предполагать, что тенденция, характерная для прошлого, сохра­нится и в будущем.

При интерполяции считается, что ни выявленная тенденция, ни ее характер не претерпели существенных изменений в том про­межутке времени, уровень (уровни) которого нам не известен. Та­кое предположение обычно является более обоснованным, чем предположение о будущей тенденции.