Закон ципфа и фрактальная природа в экономических системах

Пятаев А., 4 курс, специальность 050602-Информатика

Научный рук.: к.т.н., доцент Куликова В.П.

Северо-Казахстанский государственный университет им. М. Козыбаева

(Казахстан, г. Петропавловск)

Наиболее эффективным инструментом техноценологического исследования является ранговый анализ [1]. В основе данного подхода лежит математика Ципфа – негауссовская математическая статистика устойчивых безгранично делимых распределений. Ранговое видовое распределение проектов имеет вид зависимости (закон Ципфа):

(1)

где U(r) – число особей одного вида (например, отрасль, форма инвестирования, объем финансовых вложений и т.п.);

В – коэффициент аппроксимации;

r – номер ранга ;

 – ранговый видовой коэффициент, >0.

В рамках исследования применяется традиционный метод наименьших квадратов (минимизирующий сумму квадратов отклонений реально полученных в ходе рангового анализа техноценоза эмпирических значений U_i от значений, рассчитанных по аппроксимирующей зависимости) и методы, процедуры которых реализованы в системах компьютерной математики. При решении некоторых практических задач достоверность оценки параметров гиперболической аппроксимации проблематична.

Надо отметить, что закон Ципфа является ничем иным, как законом Парето «наоборот», поскольку и тот и другой – частные случаи степенных рядов, или проявление фрактальной природы экономических и социальных систем.

Исследование фрактальной природы экономических систем на основе рангового распределения вызвано следующими причинами:

• целый ряд экономических явлений (богатство стран и отдельных людей, колебания цен на акции, курсы валют и т.п.) не подчиняется распределению Гаусса (для таких явлений характерным является то, что среднее значение очень сильно зависит от выборки);

• значительное расслоение выборки значений показателей, описывающих экономическую систему.

Рассмотрим, например, распределение стран мира по объему ВВП. В 2010 году общемировой ВВП составил 57,7 трлн. долл. И почти половина его (48%) пришлась на четыре богатейшие страны мира (таблица 1), при том, что всего в списке было 192 страны.

Таблица 1

Богатейшие страны мира

Ранжированный график стран по объему ВВП (рисунок 1) очень похож на изображение кривой Ципфа (1) [1].

Рис. 1. Ранжирование стран по объему ВВП

Одно из свойств фрактальности – самоповторение. 80% мирового богатства 192-х стран сосредоточено всего в 18 странах (что составляет 9,4%). Причем суммарное богатство этих 18 стран – 46 трлн. долл. – распределено столь же неравномерно: примерно 80% от этих 46 трлн. сосредоточено в менее чем половине стран. Рассуждения можно продолжить….

Таблица 2 и рисунок 2 иллюстрируют построение ценоза по сгруппированным данным.

Таблица 2

Параметры рангового распределения по 180 странам

Рис. 2. Параметрическое ранговое распределение

Получили уравнение , т.е. параметр β=1,092.

Как показывает опыт исследования ценозов из различных областей человеческой деятельности, наилучшим является такое состояние ценоза, при котором параметр β находится в пределах 0,5≤β≤1,5. Однако, закон оптимального построения ценозов гласит, что устойчивое состояние достигается при β=1.

Все графики по объемам ВВП на любом из 8-ми интервалов похожи друг на друга и на кривую Ципфа (ограниченный объем статьи не позволяет привести все графики). Это свидетельствует о самоповторении в масштабе.

Расчетные значения показателя ценоза β таковы: по двадцати наиболее развитым странам показатель β=1,088; по пятидесяти – β=0,788; по ста – β=1,044; по всем странам – β=1,092. Итак, все построенные ценозы устойчивы. Наименее устойчивым из всех является ценоз, построенный по пятидесяти странам, что обусловлено маленькими отличиями объемов ВВП с тридцатого по пятидесятое место.